전달함수 개념
선형 시불변 계통에서 입력과 출력 사이의 대응 관계를 해석하기 위해서는 라플라스 변환을 통한 주파수 영역 표현이 자주 활용된다. 시간영역에서 미분 방정식으로 기술되는 선형 시불변 계통이 주어졌을 때, 초기 조건을 모두 영으로 가정하면 입력 신호의 라플라스 변환을 $X(s)$라 하고 출력 신호의 라플라스 변환을 $Y(s)$라 할 수 있다. 이때 계통을 나타내는 전달함수 $G(s)$는
로 정의된다. 이는 시간영역에서의 상관관계를 직접적으로 보는 대신 복소변수 $s$를 활용하여 계통의 특성을 분리해내는 표현이며, 주어진 선형 미분 방정식을 일관성 있게 취급하기 위한 핵심 도구이다.
미분 방정식 관점에서 계통을 살펴보면, 예를 들어 $n$차 선형 상미분 방정식
가 주어졌다고 할 때 라플라스 변환을 취하여 초기 조건이 모두 영임을 가정하면
가 된다. 이를 정리하면,
가 되므로 전달함수 $G(s)$는
로 표현된다. 여기서 분자 다항식에서의 근들은 영점(zeros), 분모 다항식에서의 근들은 극점(poles)으로 불린다. 전달함수는 이 극점과 영점을 통해 계통의 동특성을 진폭 및 위상 차원의 관점에서 해석할 수 있도록 한다. 분모 다항식은 통상적으로 계통의 특성 방정식이라 불리며, 그 근들이 계통의 고유한 거동을 결정한다.
전달함수는 단입력 단출력 계통(SISO)의 경우에 명확하게 정의되나, 다입력 다출력(MIMO) 계통의 경우에는 각 입력에서 각 출력으로 가는 경로마다 전달함수가 달라질 수 있다. 그러나 복수의 단입력 단출력 전달경로를 묶어 $\mathbf{G}(s)$와 같은 행렬 형식으로 표현함으로써 MIMO 계통을 분석할 수 있다. 이때
와 같은 행렬을 정의하여, 벡터 형태의 입력 $\mathbf{X}(s)$와 출력 $\mathbf{Y}(s)$ 간의 관계를
로 포괄적으로 표현한다. 전형적인 블록선도 분석에서는 이러한 전달함수들을 상호 결합하여 복합계통을 이루게 되며, 여러 개의 블록을 직렬, 병렬 또는 되먹임(피드백)으로 연결할 때의 결과적 전달함수를 블록선도 대수(block diagram algebra) 규칙에 따라 정리할 수 있다.
전달함수의 본질은 시간영역에서 주어진 선형 미분 방정식을 복소평면 상에서 다항식 연산 형태로 단순화하고, 극점과 영점의 위치로부터 계통의 주파수 응답과 과도 응답 특성을 해석할 수 있게 한다는 점에 있다. 극점의 위치는 계통의 고유 응답과 안정성 특성에 직접적인 영향을 미치며, 영점은 주파수 응답에 추가적인 위상 변화나 진폭 변화를 일으킬 수 있다. 극점과 영점의 배치에 따라 계통의 시간응답 특성이 크게 달라지므로, 이를 해석하는 것은 제어계 설계에서 중요한 단계에 해당한다.
라플라스 도메인에서 입력과 출력을 다루는 개념을 시각적으로 나타내기 위해 간단한 블록선도를 mermaid로 나타낼 수 있다.
위 블록선도에서 $X(s)$는 입력 신호의 라플라스 변환, $G(s)$는 계통의 전달함수, $Y(s)$는 출력 신호의 라플라스 변환을 의미한다. 블록선도 해석 및 전달함수 활용 시, 초기 조건은 일반적으로 영으로 놓고 해석하므로 $\mathbf{X}(s)$와 $\mathbf{Y}(s)$가 나타내는 것은 계통이 시간영역에서 가진 동특성의 핵심적 구성을 보여주는 주파수영역 표현이라 할 수 있다.
전달함수의 극-영점 해석
전달함수에서 분자 다항식의 근들은 영점, 분모 다항식의 근들은 극점이다. 이때 계통의 동특성을 결정짓는 가장 중요한 요소는 극점이며, 영점은 특정 주파수에서의 증폭이나 감쇠 및 위상 변화를 세부적으로 조정하는 역할을 한다. 극점이 실수축의 왼쪽 절반평면(LHP)에 위치하면 그 극점은 안정적인 고유 응답을 만든다. 반면 실수축의 오른쪽 절반평면(RHP)에 위치하면 지수적으로 발산하는 불안정 응답을 야기한다. 복소 도메인 상에서 쌍으로 존재하는 복소수 극점은 진동을 동반한 지수 응답을 이끌어낸다.
라플라스 변수 $s$에 대하여 극점이 시간영역 응답에 직접 연결되는 이유는 계통의 특성 방정식이 분모 다항식
로 표현될 때, 그 근들이 계통의 자연응답 모드(natural mode)를 정의하기 때문이다. 영점은 특성 방정식과는 직접적으로 연결되지 않으나, 주파수 응답에서 특정 지점에서 위상과 진폭 특성을 변화시키므로 피드백 제어 설계 시 중요한 요소가 된다. 예컨대 RHP에 영점이 존재한다면, 위상 이득이 특이하게 변하여 동특성 보상이 까다로워진다.
전달함수의 부분분수 전개
전달함수 $G(s)$를 해석학적으로 다루는 또 다른 관점은 부분분수 전개이다. 전달함수가 유리함수
형태로 주어졌을 때, 분모가 일련의 일차 혹은 이차 인수로 인수분해 가능하다고 가정하면(물론 다항식의 차수나 복소근 여부에 따라 달라진다)
와 같이 표현할 수 있다(모든 극점이 단극점이라고 가정하는 경우). 복소 근이나 다중 극점이 있을 시에는 보다 세분화된 형태의 항들이 등장한다. 이러한 부분분수 전개는 역라플라스 변환(inverse Laplace transform)을 수행하여 시간영역 응답 $g(t)$을 도출할 때 활용된다.
예를 들어
라면,
형태로 부분분수 전개를 한다.
이 식에서 $A$와 $B$를 찾기 위해 통분하면
결국
$s=0$ 대입 시 $1 = A\cdot 2$ 이므로 $A = \tfrac{1}{2}$, $s=-2$ 대입 시 $1 = B(-2)$ 이므로 $B = -\tfrac{1}{2}$를 얻는다. 따라서
역라플라스 변환으로 시간영역에서의 임펄스 응답 $g(t)$를 구하면
여기서 $u(t)$는 단위 계단함수이다. 즉, 계통의 전달함수 $G(s)$에 단위 임펄스가 입력으로 들어가면 시간영역 출력은 위와 같이 결정된다.
전달함수를 통한 주파수 응답 분석
전달함수 해석에서 중요한 또 다른 영역은 주파수 응답이다. $s = j\omega$($j$는 허수 단위, $\omega$는 각주파수)로 치환하여
로 나타내었을 때, $\omega$에 따른 진폭 및 위상의 변화를 살피는 과정이 주파수 응답 분석이다. 이는 Bode 선도, Nyquist 선도, Nichols 선도 등으로 시각화될 수 있으며, 영점과 극점의 분포가 진폭 응답 및 위상 응답에 어떻게 반영되는지를 정성적으로 혹은 정량적으로 파악하게 한다.
전달함수의 분모 극점이 실수축의 왼쪽에 존재하면 그 극점은 주파수 응답에 감쇠 성분을, 오른쪽에 존재하면 발산 성분(불안정)을 유도한다. 따라서 안정성 판단을 위해서는 분모 극점이 모두 LHP에 위치하는지 확인해야 한다. 영점은 실수축의 좌우 어느 쪽이든 주파수 응답에서 위상 및 진폭에 영향을 준다. 특히 RHP에 영점이 있는 경우, 위상 거동이 빠르게 변화하여 제어기 설계 시 안정영역 확보가 까다로워질 수 있다.
블록선도와 전달함수 결합
다양한 제어계 설계 문제에서, 여러 개의 부분 계통(블록)이 직렬 혹은 병렬, 혹은 되먹임(피드백) 구조로 연결될 수 있다. 각 블록은 자체의 전달함수를 갖고, 이를 조합하여 전체 계통의 전달함수를 유도할 수 있다. 다음 mermaid 블록선도는 되먹임 구조를 간단히 묘사한다.
위 구조에서, $G_1(s)$와 $G_2(s)$가 피드백 루프를 형성한다. 이러한 상황에서 전체 전달함수를 유도하려면 블록선도 대수(block diagram algebra)에 따라 각 경로를 정리해야 한다. 간단히
와 같이 표현될 수도 있으며, 구체적인 구조나 블록의 배치에 따라 여러 변형이 가능하다.
전달함수와 안정성 판별
전달함수를 통해 계통의 안정성을 판별하는 전형적인 기법 중 하나는 Routh–Hurwitz 판별법이다. 전달함수 $G(s)$가
형태라 할 때, 분모 다항식 $a_n s^n + \dots + a_1 s + a_0 = 0$의 근이 모두 실수축의 왼쪽 반평면(LHP)에 존재해야 안정하다고 판단한다. Routh–Hurwitz 판별법은 특성 방정식 계수를 일련의 행렬 형태로 나열하여, 그 행렬의 제일 열(column)의 부호 변화를 통해 근의 LHP 존재 여부를 가늠한다. 예를 들어 $4$차 계통에 대해서 특성 방정식이
라고 하면, Routh 배열(Routh array)은
와 같이 구성되어, 맨 왼쪽 열에 나타나는 모든 항의 부호가 모두 양이면(또는 모두 음이면, 일관된 부호를 유지한다면) 안정하다고 판별한다. 이는 전달함수가 극점(분모 근)을 통해 직접 안정성을 결정한다는 사실을 보조적으로 검증해주는 도구이다.
전달함수와 근궤적(root locus)
근궤적은 폐루프 특성 방정식의 극점이 비례 이득 $K$ 변화에 따라 어떻게 움직이는지를 시각적으로 표시한 방법이다. 예컨대 개루프 전달함수를
라고 했을 때, 폐루프가 단순 비례 제어 $K$로 되먹임된 구조라면 폐루프 특성 방정식은
로 표현된다. 여기서 $s$가 만족해야 할 방정식
의 근을 $K$가 0에서부터 무한대까지 변화시켰을 때, 그 근들의 이동 경로가 근궤적이다. 근궤적은 다음과 같은 중요한 성질을 이용하여 그려진다.
모든 극점은 $K=0$에서의 개루프 극점($A(s)=0$의 근)에서 시작한다.
모든 영점은 $K=\infty$에서의 극점($B(s)=0$의 근)에서 끝난다.
직관적으로 개루프 영점과 극점의 분포가 고정된 상태에서, $K$가 증가함에 따라 폐루프 극점들이 시간영역 거동에 어떤 변화를 보이는지를 파악하고, 이를 통해 적절한 안정영역이나 응답 성능을 확보하기 위한 제어 이득 범위를 찾는 것이 목적이다.
전달함수와 시간영역 응답
전달함수에서 시간영역으로의 환원은 라플라스 역변환을 통해 이루어진다. 특정 입력 신호(단위 계단, 단위 임펄스, 사인파 등)에 대해 계통의 출력 응답을 구하려면, 다음과 같은 과정을 거친다.
$G(s)$에 입력 신호의 라플라스 변환 $X(s)$를 곱하여 $Y(s) = G(s)X(s)$를 구한다.
$Y(s)$에 대한 역라플라스 변환을 취해 $y(t)$를 구한다.
단위 계단 응답($x(t)=u(t)$)일 경우, $X(s) = \frac{1}{s}$를 활용한다. 단위 임펄스 응답($x(t)=\delta(t)$)일 경우, $X(s)=1$이 되므로 $Y(s) = G(s)$ 자체의 역변환이 응답이 된다. 사인 입력($x(t)=\sin(\omega_0 t),u(t)$)일 경우, $X(s) = \tfrac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}$를 활용하여 응답을 구한다.
전달함수의 최소 및 비최소 위상
전달함수 해석에서 주파수 특성 분석 시, 영점 중에 RHP에 위치한 것이 있으면 비최소 위상 계통(non-minimum phase system)이라 부른다. 이는 영점이 LHP에 위치했을 때에 비해 위상 변화를 훨씬 크게 일으킨다. 보상기 설계 시 이러한 비최소 위상 계통은 안정성과 응답 성능을 동시에 만족시키기 까다롭게 만든다. 예를 들어 RHP 영점은 Bode 선도에서 위상을 크게 손실시키므로, 위상 여유(phase margin)를 확보하기가 어려워진다.
이러한 비최소 위상 계통은 신호가 일부 역으로 응답하거나, 입력이 증가할 때 초기 반응이 오히려 감소하는 형태의 반직관적 거동을 보인다. 예컨대 전기회로에서 지배 방정식상 유도성 요소가 특정 결합 형태로 존재하거나, 기계계에서 토크와 각속도 사이에 직접적 비선형 결합이 나타날 때 비최소 위상 거동이 발생하기도 한다.
전달함수와 State-Space 표현의 연계
선형 시불변 계통은 전달함수 형태뿐만 아니라 상태방정식(state-space) 형태로도 기술할 수 있다. 상태방정식은
와 같이 표현된다. 여기서 $\mathbf{x}(t)$는 상태벡터, $\mathbf{u}(t)$는 입력벡터, $\mathbf{y}(t)$는 출력벡터이며, $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$, $\mathbf{D}$는 행렬이다. 이 계통에 대해 라플라스 변환을 취하면
초기조건을 영으로 놓으면
따라서
만일 단입력 단출력(SISO) 계통에서 $\mathbf{D} = 0$라면,
형태로 전달함수를 유도할 수 있다. 여기서 $(s,\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}$의 행렬식이 분모 다항식을 정의하므로, $\mathbf{A}$의 고유값(eigenvalue)이 결국 극점의 위치와 직결됨을 확인할 수 있다. 또한 MIMO 계통에서는 $\mathbf{G}(s)$가 행렬 형태로 주어지고, 그 행렬식 혹은 고유값 다항식을 통해 안정성이나 동특성을 분석할 수 있다.
전달함수와 제어기 설계 지표
전달함수가 제공하는 극점-영점 정보는 제어기 설계 시 여러 가지 지표를 계산하는 데 직접 활용된다. 예를 들어 주파수 응답의 관점에서 이득 여유(gain margin)와 위상 여유(phase margin)는 Nyquist 선도나 Bode 선도를 통해 산출되는데, 이는 개루프 전달함수 $G_{\text{개루프}}(j\omega)$의 크기와 위상 특성을 해석함으로써 결정된다. 이 값들은 폐루프 안정성이 주파수 영역에서 어느 정도 남아 있는지, 즉 설계 안전영역이 얼마만큼인지에 대한 중요한 단서를 제공한다.
이득 여유: 위상이 $-180^\circ$가 되는 지점($\angle G_{\text{개루프}}(j\omega) = -180^\circ$)에서의 크기 응답($|G_{\text{개루프}}(j\omega)|$)이 $1$이 되기까지 몇 dB 남아 있는가를 본다.
위상 여유: 크기 응답이 1(0 dB)이 되는 지점에서의 위상이 $-180^\circ$로부터 얼마나 떨어져 있는지를 본다.
이처럼 전달함수는 계통의 동특성과 안정성을 결정짓는 모든 핵심 정보(극점, 영점, 주파수 응답)를 포괄하고 있으며, 이를 기초로 제어기를 설계할 수 있다. 상태방정식 형태의 계통이라도, 결국 부분공간에서 특정 출력-입력 변환만을 본다면 전달함수로 수렴할 수 있고, 설계자는 그 전달함수를 기반으로 고전 제어 이론(근궤적, Bode/Nyquist 해석 등)을 적용할 수 있다.
전달함수와 PID 제어
산업 현장에서 가장 널리 사용되는 제어기 형태 중 하나는 PID(Proportional-Integral-Derivative) 제어기이다. PID 제어기를 라플라스 도메인에서 표현하면 다음과 같은 유리함수 형태를 얻게 된다. 프로포셔널 부분이 $K_p$, 적분 부분이 $K_i$, 미분 부분이 $K_d$라 할 때, 이상적 형태의 PID 제어기 전달함수는
라플라스 변수 $s$를 사용하는 전달함수의 개념에서 이 표현은 매우 직관적이다. 프로포셔널 항 $K_p$는 입력 오차와 비례하는 출력을 생성한다. 적분 항 $\tfrac{K_i}{s}$는 계통 오차가 누적되는 만큼 제어 노력을 증가시켜 정상상태 오차를 없애는 특성을 갖고, 미분 항 $K_d,s$는 오차 변화를 빠르게 감지하여 시스템이 큰 오차로 치우치기 전에 완화해 주는 역할을 한다.
물론 실제 현장에서는 이산화(digital implementation)나 하이게인 노이즈 증폭 문제 등으로 인해, 이상적인 미분 항을 그대로 사용하는 것이 쉽지 않아 주파수 차단 특성을 갖춘 $K_d \tfrac{N s}{1 + N s}$ 형태로 근사하거나, 적분 작용에 외부 제한(anti-windup)을 두는 등 다양한 보완 기법이 추가된다. 그러나 전달함수를 통해 본다면, PID 제어기의 기본 구조 자체가 매우 간단한 유리함수 형태라는 사실을 알 수 있다.
전달함수 관점에서 보면, 폐루프 구성은
로 표현되며, 설계자는 $K_p$, $K_i$, $K_d$를 조정하여 극점(분모의 근)들을 원하는 위치(실제 응답 특성)로 배치하고자 한다. 이를 위해 근궤적 기법이나, Bode 선도에서 위상 여유와 이득 여유를 해석하여 파라미터를 튜닝하기도 하고, 최근에는 자동 튜닝 기법이나 루프쉐이핑(loop shaping) 접근 등 다양한 방법이 사용된다.
전달함수의 민감도와 강인성(Robustness)
전달함수를 활용하는 또 다른 중요한 영역은 민감도(sensitivity)와 강인성(robustness) 해석이다. 어떤 폐루프 계통이 노이즈나 파라미터 변동 등 여러 교란 요소에 대해 얼마나 둔감하게 반응하는지, 혹은 얼마나 안정적으로 유지될 수 있는지 판단하려면, 민감도 전달함수(sensitivity function)나 보완 민감도 전달함수(complementary sensitivity function) 등을 살펴볼 수 있다.
폐루프 전달함수를 $G_{\text{폐루프}}(s)$라 하고, 개루프 전달함수를 $L(s)$라 할 때, 통상 민감도 전달함수는
보완 민감도 전달함수는
의 형태로 정의된다. 여기서 $L(s) = G_{\text{PID}}(s),G_{\text{plant}}(s)$와 같이 제어기와 플랜트가 연결된 개루프 전달함수를 의미한다. 이때 $S(s)$는 외란에 대한 폐루프 계통의 민감도를, $T(s)$는 명령 추종이나 특정 출력 성능을 유지하는 능력을 각각 나타낸다.
민감도 전달함수 $S(s)$가 특정 주파수 영역에서 작으면 그 주파수대에서 외란이나 파라미터 오차에 대한 반응이 작고, 즉 외란에 대해 둔감함을 뜻한다. 반면, $T(s)$가 작으면 그 주파수대에서 출력이 잘 추종하지 못함을 의미한다. 따라서 $S(s)$와 $T(s)$ 사이에는 물리적 트레이드오프가 존재한다. 이는 Bode 선도를 이용해 $|S(j\omega)|$와 $|T(j\omega)|$를 확인함으로써 구체적으로 해석 가능하다.
전달함수의 시스템 식별
현장에서 이미 구축되어 있는 플랜트나 프로세스가 있을 때, 그 모델(전달함수)을 이론적으로 도출하기 쉽지 않다면, 실험 데이터를 통해 시스템 식별(system identification)을 시도할 수 있다. 입력과 출력 신호를 측정하여 적당한 방법(최소자승법, ARX 모델, PEM, Black-Box 모델링 등)을 적용함으로써, $\tfrac{Y(s)}{X(s)}$ 형태의 유리함수로 플랜트 모델을 근사하고, 그 계통의 동특성을 파악할 수 있다.
시스템 식별 단계에서 중요한 것은 입력 신호가 충분히 풍부(rich)해야 한다는 점이다. 예를 들어 펄스, 스텝, 멀티사인, Pseudo-Random Binary Sequence(PRBS) 같은 자극 신호를 주입해 계통의 응답을 관측한 뒤, 수치 계산을 통해 $G_{\text{추정}}(s)$의 분자, 분모 차수와 계수를 추정한다. 이렇게 구축된 전달함수를 가지고, 그 다음 단계인 제어기 설계 및 시뮬레이션에 활용할 수 있다.
전달함수 활용 C++ 예시
아래는 간단한 C++ 코드를 통해 이산화(digital approximation)된 전달함수를 응용해 보는 방식을 예시한 것이다. 예를 들어, $G(s) = \tfrac{1}{(s+1)}$라는 연속계 전달함수를 이산화하여 $G(z)$ 형태로 근사하고, 임의의 입력에 대한 출력을 적분 형태로 누적 계산하는 모형을 보여준다.
위 코드에서 연속계 전달함수를 단순하게 $s$에 대한 차분 근사 $s \approx \tfrac{1}{h}(z-1)$ 등을 적용하여 직접 이산화를 구하거나, 혹은 보다 정교한 Tustin 변환, Zero-Order Hold(ZOH) 근사를 사용할 수도 있다. 이처럼 전달함수를 기초로 제어계에서 시간응답을 모의실험하는 절차가 소프트웨어 상에서 간단한 코드로 구현 가능하다는 점은, 제어이론이 실무적으로도 중요한 기반을 형성함을 보여준다.
전달함수의 언어적 표현은 시간이론적 동작을 복소변수 $s$ 한 변수를 통해 함축한다는 장점이 있지만, 실제 제어기 구현에서는 상태방정식 형태나 이산화된 형태로 계산을 수행해야 한다. 따라서 현대의 제어 시스템에서는 선형대수 관점의 상태공간 모형과, 고전 제어이론 관점의 전달함수 해석이 함께 이용되는 경향이 많다.
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