일차 및 이차 미분방정식의 해

일반적 서론

미분방정식은 제어공학에서 동적 시스템의 거동을 해석하고 해를 구하는 가장 중요한 도구이다. 시스템을 해석하거나 설계할 때, 그 시스템의 입력(input)과 출력(output)의 관계를 적절히 모델링하기 위해 미분방정식을 자주 사용한다. 일차(1차) 미분방정식의 해는 상대적으로 간단하지만, 실제 상황에서 매우 빈번하게 나타나는 대표적인 형태이기도 하다. 또한 이차(2차) 미분방정식은 제어공학에서 흔히 보는 질량-스프링-댐퍼 시스템이나 RLC 회로, 회전 시스템의 기본 방정식을 표현하는 데 사용된다. 이러한 방정식을 풀기 위해서는 여러 가지 방법이 존재하며, 편미분방정식 또는 고차방정식으로 확장하기 위한 기초로서 1차, 2차 미분방정식의 해법과 개념을 엄밀하게 정리해 두는 것이 중요하다.

일차 미분방정식의 형태

가장 일반적인 1차 선형 미분방정식은

$$\frac{dx}{dt} + p(t)x = q(t)$$

와 같이 표현된다. 여기서 $x$는 시간 $t$에 대한 미지함수, $p(t)$와 $q(t)$는 시간에 대한 알려진 함수다. 이를 해결하기 위해서는 다음의 핵심 개념을 이해해야 한다.

균일해(동차해)와 특수해

위 방정식에서 $q(t)$가 0이 되는 경우, 즉

$$\frac{dx}{dt} + p(t)x = 0$$

를 ‘동차방정식(homogeneous equation)’이라 한다. 이 동차방정식의 해를 균일해(homogeneous solution)라고 부르며, $x_h(t)$로 표현한다. 만약 원래 방정식에서 $q(t)\neq 0$인 경우, 이를 ‘비동차방정식(non-homogeneous equation)’이라 부르며, 특정 조건을 만족하는 한 가지 해를 ‘특수해(particular solution)’라 하고 $x_p(t)$로 표기한다. 최종적으로 원래 방정식의 총해(general solution)는

$$x(t) = x_h(t) + x_p(t)$$

가 된다. 이를 통해 미분방정식의 해공간이 균일해와 특수해의 선형 결합으로 완성됨을 알 수 있다.

적분인자법

1차 선형 미분방정식을 해결하는 대표적인 기법 중 하나는 적분인자(integrating factor)를 사용하는 방법이다. 적분인자는 $p(t)$에 기반하여 정의되며, 일반적으로 다음과 같이 설정한다.

$$\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr)$$

이 적분인자를 미분방정식에 곱하면, 좌변을 한 번에 적분 가능한 형태로 묶을 수 있다. 즉,

$$\mu(t)\frac{dx}{dt} + \mu(t)p(t)x = \mu(t)q(t)$$

에서 좌변은

$$\frac{d}{dt}\bigl(\mu(t)x\bigr)$$

와 같아진다. 따라서 양변을 적분함으로써 $x(t)$에 대한 명시적 해를 구할 수 있다.

이를 좀 더 구체적으로 살펴보면,

$$\frac{d}{dt}\bigl(\mu(t)x(t)\bigr) = \mu(t)q(t)$$

이므로, 양변을 적분하면

$$\mu(t)x(t) = \int \mu(t)q(t)\,dt + C$$

여기서 $C$는 적분 상수이며, 최종적으로

$$x(t) = \frac{1}{\mu(t)}\bigl[\int \mu(t)q(t)\,dt + C\bigr]$$

가 된다. 이렇게 구한 해는 일반해(general solution)이며, 초기조건이 주어진 경우 $C$를 적절히 결정하여 특수한 해를 얻을 수 있다.

동차해와 특수해의 예시적 구조

동차방정식 $\frac{dx}{dt} + p(t)x = 0$의 해는

$$x_h(t) = K \exp\!\Bigl(-\int p(t)\,dt\Bigr)$$

형태를 띤다. 여기서 $K$는 임의의 상수다. 비동차방정식에서, $x_p(t)$는 적분인자를 통해 얻은 $\frac{1}{\mu(t)}\int\mu(t)q(t),dt$ 부분에 해당한다. 이처럼 모든 1차 선형 미분방정식은 동차해와 특수해를 구분하여 해석하면 해를 명확하게 구할 수 있다.

해석 과정 흐름도 예시

2차 미분방정식의 형태

2차 미분방정식은 시간 $t$에 대한 미지함수 $x(t)$의 두 번째 도함수가 등장한다. 예를 들어, 제어공학에서 자주 등장하는 표준형 2차 선형 미분방정식은

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x = f(t)$$

와 같이 표현될 수 있다. 이 방정식에서 $a_0$, $a_1$는 상수(real constant), $f(t)$는 비동차항에 해당한다. 이차 미분방정식 또한 균일해와 특수해로 나누어서 접근할 수 있으며, 균일해는 동차방정식인

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x = 0$$

의 해를 의미한다. 동차방정식을 풀 때에는 특성방정식을 사용하여 해의 구조를 구하게 된다.

2차 선형 미분방정식의 동차해

2차 선형 미분방정식

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x = 0$$

를 해석하기 위해서는 먼저 특성방정식을 고려한다. 특성방정식은 $x(t) = e^{\lambda t}$ 꼴의 해를 가정하여 계수들을 대입함으로써 얻어지는데,

$$\lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 = 0$$

와 같은 2차 대수방정식을 풀면 된다. 이 특성방정식의 해에 따라 동차방정식(균일방정식)의 해가 크게 세 가지 유형으로 구분된다.

동차해를 $x_h(t)$라 할 때, 특성방정식의 근을 각각 $\lambda_1$, $\lambda_2$라 하면,

$$\lambda_{1,2} = \frac{-\,a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4\,a_0}}{2}.$$

세부적인 해의 구조는 다음과 같이 분류된다.

실근이 서로 다른 경우

특성근 $\lambda_1$과 $\lambda_2$가 서로 다른 두 개의 실근(real root)이면,

$$\lambda_1 \neq \lambda_2,\quad \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{R}$$

이때의 동차해는

$$x_h(t) = C_1\, e^{\lambda_1 t} \;+\; C_2\, e^{\lambda_2 t}$$

꼴이다. 여기에서 $C_1$, $C_2$는 임의의 상수로, 초기조건을 통하여 결정된다.

중근인 경우

특성근이 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$로서 단 하나의 실수 값을 중복해서 가지는 경우,

$$\lambda_1 = \lambda_2 = -\frac{a_1}{2}$$

이때의 해는

$$x_h(t) = \Bigl(C_1 \;+\; C_2\, t\Bigr)\, e^{\lambda t}$$

가 된다. 지수함수 해에다 선형 항 $t$가 추가된 형태로 표현된다.

켤레 복소근인 경우

특성방정식의 판별식 $a_1^2 - 4,a_0$가 음수여서 서로 켤레(conjugate) 복소수를 갖는 경우

$$\lambda_{1,2} = \alpha \pm j\,\omega,\quad \alpha = -\frac{a_1}{2},\;\omega = \frac{\sqrt{4\,a_0 - a_1^2}}{2}$$

이때의 동차해는 복소지수해의 실수부와 허수부를 이용해 실함수 형태로 나타낼 수 있다. 즉,

$$x_h(t) = e^{\alpha t}\Bigl[C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t)\Bigr]$$

와 같이 표현된다. $\alpha$가 0보다 작으면 지수 감쇠(exponential decay), 0보다 크면 지수 발산(exponential growth), 0이면 단순한 진동(oscillation) 형태가 되므로, 시스템의 감쇠(damping) 정도에 따라 거동이 달라진다.

비동차해(특수해)

2차 선형 비동차 미분방정식

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x = f(t)$$

의 해는 동차해 $x_h(t)$와 특수해 $x_p(t)$의 합으로 표현한다.

$$x(t) = x_h(t) + x_p(t)$$

여기에서 $x_p(t)$는 주어진 $f(t)$에 맞는 특정 형태를 가정하거나 적분법, 미분연산자의 역연산 등을 활용하여 구할 수 있다. 예컨대 $f(t)$가 지수함수, 다항함수, 사인/코사인 등의 기본 형태로 주어져 있을 경우, 대응되는 $x_p(t)$의 형태를 적절히 설정하고 계수를 결정한다.

비동차항이 지수형인 경우 $f(t) = Ae^{bt}$라면, $x_p(t)$ 역시 $Ce^{bt}$ 꼴로 가정하고 미분방정식에 대입하여 미지계수 $C$를 결정한다. 만약 $b$가 특성방정식의 근과 겹치는 경우(공진이나 중첩)를 고려해야 하므로, 가정하는 특수해의 형태에 $t$나 $t^2$ 등의 추가 항이 필요할 수 있다.

비동차항이 사인이나 코사인 등의 주기함수로 주어졌을 때도 마찬가지 방식으로 $\sin(\omega t)$, $\cos(\omega t)$의 결합 형태를 가정하여 해를 구하고, 필요하면 댐핑된 진동을 가정하기도 한다.

2차 비동차 방정식의 대표적 해석 과정 예시

초기값 문제와 해 결정

선형 미분방정식의 해를 실제로 활용할 때 가장 중요한 점은 초기조건(initial conditions)을 통해 해를 구체적으로 결정한다는 것이다. 예컨대 2차 미분방정식의 경우, 미지함수 $x(t)$와 그 1차 미분 $\frac{dx}{dt}$에 대한 두 개의 초기값이 주어지면, 동차해의 임의 상수 $C_1$, $C_2$를 결정할 수 있다. 일반적으로 초기값 문제(Initial Value Problem, IVP)는

$$\begin{aligned} \frac{d^n x}{dt^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x \;=\; f(t), \\ x(t_0) = x_0,\quad \frac{dx}{dt}\bigl|_{t=t_0} = v_0,\quad \ldots \end{aligned}$$

와 같은 형태로 주어진다. 해의 일반형을 구한 뒤, 이 초기조건을 대입하여 미정계수를 모두 찾는다.

예를 들어,

$$\begin{aligned} \frac{d^2 x}{dt^2} + a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x = 0, \\ x(0) = x_0,\quad \frac{dx}{dt}\bigl|_{t=0} = v_0 \end{aligned}$$

를 가정해 보자. 특성방정식의 근이 서로 다른 두 실근 $\lambda_1$, $\lambda_2$로 주어졌다고 할 때, 동차해는

$$x_h(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}$$

로 표현된다. 초기조건을 대입하면

$$\begin{aligned} x_h(0) = C_1 + C_2 = x_0, \\ \frac{dx_h}{dt}(0) = \lambda_1 C_1 + \lambda_2 C_2 = v_0 \end{aligned}$$

가 되어, 두 개의 미지계수 $C_1$, $C_2$를 결정할 수 있다. 이 과정을 통해 완성된 해는 유일해가 되며, 동적 시스템이 특정한 초기상태에서 출발했을 때 어떤 거동을 보이는지를 명확히 서술해 준다.

경계값 문제

반면에 경계값 문제(Boundary Value Problem, BVP)는 초기 시점에 대한 값이 아니라, 서로 다른 두 지점(예: $t=a$와 $t=b$)에서의 함수값 등으로부터 해를 결정한다. 예컨대

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x = 0,\quad x(a)=A,\quad x(b)=B$$

와 같은 형태로 주어진다. 이 경우에는 해의 구조는 동일하지만, 해를 결정하기 위해 적용하는 조건이 $t=0$ 등 특정 시점에서의 조건이 아니라 $t=a$, $t=b$에 분산되어 있다. 즉 해의 형태는 여전히 동차방정식의 일반해이거나, 비동차항이 있는 경우 $x_h(t) + x_p(t)$ 형태이지만, 주어진 경계값을 만족하도록 $C_1$, $C_2$ 등의 상수를 결정하게 된다.

경계값 문제가 물리적으로 자주 등장하는 예시로는 막대의 양 끝단 온도를 부여하는 열방정식 문제나, 진동계의 특정 위치에서의 변위를 정해 놓은 문제 등이 있다. 경계값 문제는 제어공학에서도 구조물의 진동 해석이나, 구속 조건이 있는 시스템 거동 등을 분석할 때 자주 활용된다.

고차 미분방정식으로의 확장

$n$차 미분방정식

$$\frac{d^n x}{dt^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x = f(t)$$

도 크게 다르지 않다. 동차방정식의 특성방정식은

$$\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0 = 0$$

로 주어지며, 여기서 얻은 근들의 결합 형태가 동차해(균일해)를 이룬다. 중복근이나 복소근이 존재할 때의 처리 방식도 2차 미분방정식에서 보았던 구조가 확장되는 것이므로, 해의 형태는 지수함수, 지수함수에 $t$나 $t^2$를 곱한 항, 또는 감쇠/발산하는 삼각함수의 결합 등으로 정리된다.

비동차항 $f(t)$가 존재하는 경우, 특수해를 구해서 동차해에 더하면 해의 일반형이 완성된다. 그리고 초기값 문제에 대해서는 $n$개의 초기조건(함수값과 1차 미분값, 2차 미분값, …)을 적용하여 최종 해의 계수를 전부 결정할 수 있다. 이러한 해법 구조가 선형 미분방정식 해석의 가장 큰 장점 중 하나다.

선형 연산자와 중첩원리

선형 미분방정식을 다루는 또 하나의 유용한 관점은 연산자(operator)의 시각이다. 예컨대

$$L[x(t)] = \frac{d^2 x}{dt^2} + a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x$$

와 같은 연산자를 생각할 수 있으며, 비동차항을 $f(t)$라 하면

$$L[x(t)] = f(t)$$

와 같은 형태의 방정식을 분석하게 된다. 여기서 $L$은 선형 연산자이므로, 만약 $L[x_1] = f_1$ 그리고 $L[x_2] = f_2$가 각각 성립한다면, 임의의 상수 $\alpha, \beta$에 대해

$$L[\alpha x_1 + \beta x_2] = \alpha f_1 + \beta f_2$$

가 성립한다. 이 사실 때문에, 균일해와 특수해를 분리하여 구하고 선형 결합을 통해 최종해를 얻는 과정이 엄밀히 정당화된다. 또한 서로 다른 입력에 대한 해의 중첩(superposition) 관점도 자연스럽게 도출된다.

라플라스 변환을 이용한 해법

제어공학에서 미분방정식을 다룰 때, 라플라스 변환(Laplace Transform)은 핵심적인 역할을 한다. 시스템의 시간영역 해를 구하는 대신, 라플라스 변환을 통해 변환영역(s-domain)에서 대수방정식(algebraic equation)의 형태로 변환하고 해를 구한 뒤, 이를 다시 역변환(Inverse Laplace Transform)하여 시간영역 해를 얻는 과정이다.

미분방정식

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + a_1 \frac{dx}{dt} + a_0\,x = f(t)$$

가 있을 때, 라플라스 변환을 적용하면 아래와 같이 표현된다. 우선 $X(s)$를 $x(t)$의 라플라스 변환, $F(s)$를 $f(t)$의 라플라스 변환이라 하면,

$$\begin{aligned} \mathcal{L}\Bigl\{\frac{d^2 x}{dt^2}\Bigr\} &= s^2\,X(s) - s\,x(0) - \frac{dx}{dt}\Bigl|_{t=0}, \\ \mathcal{L}\Bigl\{\frac{dx}{dt}\Bigr\} &= s\,X(s) - x(0), \\ \mathcal{L}\{x(t)\} &= X(s), \\ \mathcal{L}\{f(t)\} &= F(s). \end{aligned}$$

이를 미분방정식에 대입하면

$$\bigl(s^2\,X(s) - s\,x(0) - v_0\bigr) + a_1\,\bigl(s\,X(s) - x(0)\bigr) + a_0\,X(s) = F(s).$$

여기서 $x(0)$은 초기변위(또는 초기값), $\frac{dx}{dt}\bigl|_{t=0}=v_0$는 초기속도(또는 초기 1차 도함수값)를 의미한다. 방정식을 정리하면

$$X(s)\,\bigl(s^2 + a_1 s + a_0\bigr) - s\,x(0) - v_0 - a_1 x(0)\,s^{-1} + \text{(정리)} \;=\; F(s)$$

형태로 나타나고, 간단히

$$X(s)\,\bigl(s^2 + a_1 s + a_0\bigr) - \Bigl[s\,x(0) + v_0 + a_1\,x(0)\Bigr] = F(s)$$

처럼 정리된다(정확한 항들은 변환 시편을 주의 깊게 계산하여 정리해야 한다). 최종적으로

$$X(s) = \frac{F(s) + s\,x(0) + v_0 + a_1\,x(0)}{s^2 + a_1 s + a_0}.$$

형태로 바꿀 수 있다. 이렇게 구한 $X(s)$에 대한 역라플라스 변환 $\mathcal{L}^{-1}{\cdot}$을 취하면 $x(t)$를 얻는다.

이 방식은 다음과 같은 장점이 있다.

변환영역에서의 표현이 간단한 대수적 형태이므로, 시스템의 전달함수(transfer function)를 정의하고, 각종 블록선도(block diagram) 연산을 직관적으로 수행할 수 있다.

시스템의 자유응답(free response)과 강제응답(forced response)을 자동으로 분리해 준다. 자유응답은 동차방정식에 해당하는 부분, 강제응답은 비동차항에 해당하는 부분으로 나눠진다. 다양한 초기조건과 입력(input) 형태에 대해 단일한 접근으로 해석이 가능하다.

시스템 응답의 구성

라플라스 변환으로 구한 $X(s)$를 부분분수(partial fraction)로 분해하여 역변환을 취하면, 실제 시간영역 해 $x(t)$가 동차해와 특수해의 형태로 나타난다. 예컨대

$$X(s) = \frac{\alpha}{s - \lambda_1} + \frac{\beta}{s - \lambda_2} + \cdots$$

와 같은 꼴을 적절히 역변환하면

$$x(t) = \alpha\,e^{\lambda_1 t} + \beta\,e^{\lambda_2 t} + \cdots$$

가 되어, 제어공학에서 흔히 말하는 감쇠진동, 발산진동, 임펄스응답 등이 자연스럽게 분석된다.

라플라스 변환 해법은 단순히 미분방정식을 푸는 것에 그치지 않고, 주로 시간영역에서 복잡하게 연결된 여러 시스템을 블록 다이어그램으로 표현하고, 그 각각의 부분시스템이나 전체 시스템의 입력-출력 관계를 잘 정리하는 데 유용하다. 따라서 1차, 2차 미분방정식을 시작으로, 그 이상의 고차 시스템이나 궤환(feedback) 시스템 해석에도 매우 강력하게 적용할 수 있다.

전달함수와 고유모드

선형 시불변시스템(LTI system)에서, 동차방정식의 해는 시스템의 고유모드(eigenmode)로 해석할 수 있다. 예컨대 2차 시스템

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x = 0$$

의 특성근이 $\lambda_1, \lambda_2$라면, 해에 등장하는 $e^{\lambda_1 t}$, $e^{\lambda_2 t}$가 고유모드가 된다. 비동차항 $f(t)$에 의해 이들 모드가 특정 진폭으로 여기(excite)될 수 있고, 경우에 따라 새로운 주파수가 유입되기도 한다.

전달함수(Transfer Function) 관점에서, 예를 들어

$$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^2 + a_1 s + a_0}$$

라고 하면, 입력 $U(s)$가 존재할 때 $Y(s) = G(s) U(s)$에 대한 역변환이 곧 미분방정식 해의 한 축을 이룬다. 이 과정을 통해 시스템의 극(pole)은 특성근 $\lambda_1, \lambda_2$에 대응하고, 영점(zero)은 시스템의 분자(numerator)에 대응한다.

이처럼 선형 시스템의 거동을 해석할 때, 미분방정식의 해석과 전달함수의 극-영점 분석은 사실상 같은 내용을 다른 각도에서 보는 것이므로, 제어공학 전반을 이해하기 위해서는 두 관점 모두를 자연스럽게 받아들이는 것이 중요하다.

일반 해석 절차와 정리

1차나 2차 선형 미분방정식에 대한 해석 과정을 요약하면 다음과 같다.

시간영역 방법:

• 동차방정식 해(특성방정식을 통한 지수해) + 비동차항에 대한 특수해 구하기

• 초기조건을 적용해 임의상수 결정

• 최종적으로 시간영역에서 $x(t)$를 명시적으로 표현

라플라스 변환 방법:

• 문제에 라플라스 변환을 취하여 변환영역에서 미지함수 $X(s)$ 구하기

• 역변환(부분분수 전개 등)을 통해 시간영역으로 복원

• 초기조건이나 입력형태가 주어졌을 때 자동으로 분리된 해를 얻음

두 방식은 궁극적으로 동일한 결과를 주지만, 제어공학에서는 라플라스 변환 방식이 더욱 선호된다. 블록선도 해석, 주파수응답 분석, 전달함수 기반 설계 기법 등을 활용하기 편리하기 때문이다. 그러나 기본적인 시간영역에서의 미분방정식 풀이 역시 매우 중요하며, 그 개념과 풀이 과정을 명확히 이해해야 한다.

2차 계의 고유주파수와 감쇠비

2차 미분방정식

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + 2\,\zeta\,\omega_n\,\frac{dx}{dt} + \omega_n^2\,x = f(t)$$

는 제어공학에서 매우 자주 등장하는 표준 형태다. 여기서 $\omega_n$은 고유(천이)주파수(natural frequency), $\zeta$는 감쇠비(damping ratio)로 정의된다.

• $\omega_n$이 클수록 시스템이 빠른 동특성을 나타낸다.

• $\zeta$는 시스템의 감쇠 정도를 나타내며, $\zeta>1$이면 과감쇠(overdamped), $\zeta=1$이면 임계감쇠(critically damped), $0<\zeta<1$이면 부감쇠(underdamped)라고 부른다.

이 계에서 비동차항 $f(t)$가 없을 경우, 즉 자유응답(free response)만을 고려하면 다음과 같이 해석된다.

1. 과감쇠(overdamped, $\zeta>1$): 특성방정식이 실수근 2개를 갖는다. $e^{\lambda_1 t}$와 $e^{\lambda_2 t}$가 서로 다른 지수해로서, 둘 다 지수감쇠 형태를 띠기 때문에, 계의 응답은 발진 없이 점진적으로 영(0)에 수렴한다.

2. 임계감쇠(critically damped, $\zeta=1$): 특성근이 중근 $\lambda=-\omega_n$이 되어, 해는

$$x_h(t) = (C_1 + C_2 t)\,e^{-\omega_n t}$$

형태다. 2차 계 중 가장 빠르게 설정값(또는 평형점)에 도달하는 감쇠 형태로, 발진 없이 지수함수에 $t$를 곱한 항이 추가된다.

1. 부감쇠(underdamped, $0<\zeta<1$): 특성근이 서로 켤레복소수 $\lambda_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$로 주어지며, 응답은 지수감쇠가 곱해진 사인/코사인 형태로 나타난다. 즉,

$$\begin{aligned} x_h(t) &= e^{-\zeta\omega_n t}\Bigl(C_1 \cos\bigl(\omega_d t\bigr) + C_2 \sin\bigl(\omega_d t\bigr)\Bigr), \\ \omega_d &= \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}. \end{aligned}$$

이때 $\omega_d$는 감쇠된 진동주파수(damped natural frequency)다.

1. 무감쇠(undamped, $\zeta=0$): 특성근이 $\pm j,\omega_n$이 되고, 응답은

$$x_h(t) = C_1 \cos(\omega_n t) + C_2 \sin(\omega_n t)$$

형태의 순수한 진동(oscillation)이 된다. 시스템은 고유주파수 $\omega_n$로 영원히 진동하며, 감쇠가 전혀 없으므로 에너지가 계 내부에 보존된다고 볼 수 있다.

2차 계의 계단응답(step response)

입력 $f(t)$가 단위계단함수 $u(t)$인 경우, 2차 계의 대표적 응답으로서 계단응답을 살펴본다.

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + 2\,\zeta\,\omega_n\,\frac{dx}{dt} + \omega_n^2\,x = A\,u(t).$$

여기서 $A$는 계단입력의 크기(일반적으로 1로 가정). 라플라스 변환에서, 입력 $U(s)=\frac{A}{s}$로 표현되고, 전달함수 $G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2,\zeta,\omega_n,s + \omega_n^2}$를 이용해

$$X(s) = G(s)\,U(s) = \frac{\omega_n^2}{s\bigl(s^2 + 2\,\zeta\,\omega_n\,s + \omega_n^2\bigr)}\cdot A$$

형태가 된다. 이를 역라플라스 변환하면, 감쇠비 $\zeta$에 따른 서로 다른 형태의 시간응답 $x(t)$를 얻게 된다.

부감쇠(underdamped)인 경우를 예시로 들면, 최종 값은 $A$에 수렴하지만 도중에 발진을 하며 오버슈트(overshoot)가 발생할 수 있다. 오버슈트의 크기, 정착시간(settling time), 상승시간(rise time) 등은 모두 $\zeta$와 $\omega_n$에 의해 결정된다. 이를 통해 시스템의 동적 특성을 정량적으로 표현할 수 있다.

예컨대 $0<\zeta<1$이고, 초기조건이 영(0)이라 할 때, 다음과 같은 형태의 계단응답을 얻는다.

$$x(t) = A\Bigl[1 - e^{-\zeta\omega_n t}\,\frac{\sin\bigl(\omega_d t + \phi\bigr)}{\sin\phi}\Bigr],$$

$\phi$는 초기 위상(phase)을 조정하는 각도이며, 이는 $\zeta$에 의해 결정된다. 보다 구체적으로 적분계수를 계산하면 표준적인 방정식 형태를 얻을 수 있다.

1차 계의 시정수(time constant)

1차 미분방정식

$$\tau \frac{dx}{dt} + x = k\,u(t)$$

는 제어공학에서 가장 기본적으로 다루는 형태다. 여기서 $\tau$는 시정수(time constant), $k$는 스테디상태 이득(steady-state gain)이다. 만약 입력 $u(t)$가 계단함수 $u(t)=1$이라고 하면, 시간영역에서 해를 구해 보면

$$x(t) = k\Bigl[1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\Bigr]$$

가 된다. $t=\tau$에서 $x(t)$ 값은 최종값의 약 63.2%에 도달하며, 일반적으로 $t=4\tau$나 $5\tau$ 정도면 최종값에 거의 근접한다고 본다.

이 1차 계 방정식을 라플라스 변환 관점에서 보면,

$$X(s) = \frac{k}{\tau s + 1} U(s).$$

만약 $U(s)=\frac{1}{s}$ (단위계단 입력)이면,

$$X(s) = \frac{k}{s(\tau s + 1)}.$$

이를 부분분수 전개하고 역라플라스 변환하면 동일한 결과 $x(t)=k\bigl[1 - e^{-t/\tau}\bigr]$를 얻는다.

모의 코드 예시

아래와 같은 C++ 코드를 통해, 1차 계나 2차 계의 시간응답을 수치적으로 간단히 살펴볼 수 있다. (비동차항을 단위계단으로 설정했다고 가정)

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>

int main() {
    double t0 = 0.0;      // 시작 시간
    double tf = 10.0;     // 끝 시간
    double dt = 0.01;     // 시뮬레이션 시간 간격
    double tau = 1.0;     // 1차 계 시정수 예시
    double k   = 2.0;     // 시스템 이득
    
    double x = 0.0;       // 상태 변수 초기값
    
    // 시뮬레이션 결과 저장 용
    std::vector<double> t_data, x_data;
    
    for (double t = t0; t <= tf; t += dt) {
        // 단위계단 입력 u(t) = 1
        double u = 1.0;
        
        // 1차 방정식 dx/dt = ( - x + k * u ) / tau
        double dx = (- x + k * u) / tau;
        
        // 오일러 방법으로 적분
        x += dx * dt;
        
        // 데이터 저장
        t_data.push_back(t);
        x_data.push_back(x);
    }
    
    // 출력(간단히 일부만)
    for (size_t i = 0; i < t_data.size(); i += 100) {
        std::cout << "t=" << t_data[i] 
                  << ", x=" << x_data[i] << std::endl;
    }
    
    return 0;
}

이 코드를 통해, 시뮬레이션한 결과가 $x(t)=k\bigl[1-e^{-t/\tau}\bigr]$와 어떻게 일치하는지 확인할 수 있다. 2차 계도 마찬가지 방식으로, 오일러 혹은 다른 수치해석 방법(룬게-쿠타 등)을 활용해 $\frac{d^2 x}{dt^2}$ 항을 적분해 나감으로써 실시간 응답 곡선을 구할 수 있다.

해석과 설계

1차 및 2차 계 미분방정식 해석은 곧 시스템의 안정성, 속응성, 감쇠 등의 중요한 성능 지표를 파악할 수 있는 기초를 제공한다. 제어공학에서는 이 해석 결과를 바탕으로 피드백 제어기를 설계하거나, 목표 성능을 만족하기 위해 계수(이득, 시정수, 감쇠비 등)를 조정한다. 예컨대 2차 계에서 감쇠비 $\zeta$와 고유주파수 $\omega_n$를 조절하면, 오버슈트와 정착시간, 그리고 정상상태 오차 등을 원하는 대로 근사적으로 맞출 수 있다.

시간영역 해석에서 가장 중요한 키워드는

• 자유응답(동차해)과 강제응답(특수해)의 구분

• 초기조건 적용을 통한 계수 결정

• 계단응답, 임펄스응답 등의 표준 입력에 대한 특성 파악

• 감쇠비, 고유주파수, 시정수 등 시스템 고유 특성 파라미터 확인

등이 있다. 이러한 요소들을 이해하고 응용함으로써, 보다 복잡한 고차 시스템에서도 동일한 원리로 해석과 설계를 진행할 수 있다.