계단응답, 임펄스응답, 램프응답

선형시스템의 시간응답 개요

선형 시불변 시스템에서 외부 입력에 대한 출력 응답을 시간영역에서 해석할 때 자주 쓰이는 입력으로는 계단 입력, 임펄스 입력, 램프 입력이 있다. 이런 입력들은 이론적·실무적으로 중요한 기준을 제공한다. 대표적으로 단위계단 입력에 대한 응답은 시스템이 정상상태에서 갖는 특성을 살피기 쉽고, 임펄스 입력에 대한 응답은 시스템의 전반적 동적 거동을 확인하기에 유용하다. 램프 입력은 일정 기울기를 갖는 입력에 대한 시스템 출력의 추종 능력을 평가하는 데 쓰인다.

시간영역 응답은 시스템의 미분방정식 해석을 통해 얻어지고, 전이응답(과도응답)과 정상상태응답을 종합하여 기술된다. $n$차 미분방정식을 라플라스 변환하여 전이함수(Transfer Function)로 표현한 뒤, 주어진 입력에 대한 역라플라스 변환을 통해 시간영역 해(출력) $y(t)$를 구한다. 해석 편의를 위해 1차 및 2차 시스템의 표준형을 기준으로 계단, 임펄스, 램프 응답을 살펴보는 것이 일반적이다.

1차 시스템의 표준형 계단응답

1차 시스템은 다음과 같은 전이함수로 자주 표현된다

$$G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}$$

여기서 $K$는 시스템 이득, $\tau$는 시정수(time constant)이다. 이 시스템에 크기 1인 단위계단 입력 $u(t) = 1(t)$이 가해졌다고 하면 폐루프(또는 단순 개루프) 응답 $y(t)$는 다음과 같이 주어진다.

$$Y(s) = G(s) U(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \cdot \frac{1}{s}$$

이를 역라플라스 변환하면

$$y(t) = K \bigl(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\bigr)$$

$t \ge 0$에서 지수적으로 상승하여 최종적으로 $K$에 수렴하는 형태를 띤다. 시정수 $\tau$는 $t=\tau$일 때 최종값의 $1 - e^{-1} \approx 0.632$에 해당하는 응답으로 정의된다. 계단응답을 통해 시스템의 정상상태 이득과 과도응답 특성을 간단히 파악할 수 있다.

1차 시스템의 임펄스응답

같은 1차 시스템 $G(s)$에 크기 1의 단위임펄스 입력이 가해지면

$$U(s) = 1$$

이므로

$$Y(s) = \frac{K}{\tau s + 1}$$

이에 대한 역라플라스 변환은

$$y(t) = \frac{K}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}}$$

$t \ge 0$에서 지수적으로 감소하며 $t=0$에서 $\frac{K}{\tau}$의 값을 갖는다. 만일 이 시스템이 실제 회로라면, 임펄스 입력은 매우 짧은 시간에 큰 에너지를 가하는 이상적인 입력이므로 측정 시 현실적 제약이 있지만, 수학적으로는 이 임펄스응답이 계통 전체의 모드(mode)를 파악하는 기본적인 척도가 된다.

1차 시스템의 램프응답

램프(ramp) 입력은 $u(t) = t$ (단위램프 입력)으로 정의할 수 있다. 라플라스 변환 시

$$U(s) = \frac{1}{s^2}$$

1차 시스템에 적용하면

$$Y(s) = G(s)U(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \cdot \frac{1}{s^2}$$

이를 부분분수 분해하여 역라플라스 변환하면

$$y(t) = K \Bigl(t - \tau \bigl(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\bigr)\Bigr)$$

람프 응답에서는 $t$가 증가함에 따라 시스템 출력이 무한정 증가할 수도 있고, 경우에 따라서는 정상상태 오차(steady-state error)가 존재할 수 있다. 1차 시스템의 경우, 램프 입력에 대해 정상상태에서 오차가 유한 값이 아니라 일정 기울기에 따라 계속 누적된다는 특징이 있다. 이 응답을 통해서는 시스템이 일정 기울기의 입력 변화에 얼마나 빠르고 정확히 추종하는지 측정할 수 있으며, 시스템 특성 개선을 위해 적분제어나 다른 설계기법이 필요한지 판단할 수도 있다.

2차 시스템의 표준형 계단응답

2차 시스템은 다음과 같은 표준형으로 많이 다룬다

$$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$$

여기서 $\omega_n$은 고유진동수(natural frequency), $\zeta$는 감쇠비(damping ratio)이다. 입력으로 단위계단을 가했을 때의 출력은

$$Y(s) = G(s) \cdot \frac{1}{s} = \frac{\omega_n^2}{s(s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2)}$$

이를 부분분수 분해한 뒤 역라플라스 변환을 수행하면 감쇠비에 따라 서로 다른 응답 형태를 얻는다. 대표적으로 감쇠비 $\zeta < 1$인 부족감쇠(underdamped)에서 계단응답은 천이과정 동안 진동 형태의 오버슈트(overshoot)를 보인다.

감쇠비 $\zeta = 1$이면 임계감쇠(critically damped), $\zeta > 1$이면 과도감쇠(overdamped) 응답이 나타나며, 시스템의 극점이 서로 다른 위치에 존재한다.

부족감쇠 시스템에서 통상적으로 다음 형태의 해가 얻어진다

$$y(t) = 1 - e^{-\zeta \omega_n t} \frac{\sin \Bigl(\omega_d t + \phi\Bigr)}{\sin(\phi)}$$

이때 $\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$이며, 위상 $\phi$는 초기 조건에 의해 정해지는 상수값이지만, 단위계단 입력의 경우 다음과 같이 응답 식이 간략화되기도 한다. 자세한 유도는 라플라스 역변환과 삼각함수 항의 조합으로부터 얻어지며, 지수항과 공진항이 곱해져서 감쇠진동을 만들어낸다.

이 응답의 특성파라미터로 상승시간, 최대오버슈트, 감쇠진동, 정착시간 등을 정의하고, 이런 지표들은 실제 시스템 설계에서 주파수영역 해석과 함께 중요한 성능요건으로 쓰인다.

2차 시스템의 임펄스응답

2차 표준형 전이함수

$$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \,\omega_n s + \omega_n^2}$$

에 대하여 단위임펄스 입력이 가해졌다고 하자. 임펄스 입력의 라플라스 변환은 $U(s) = 1$이므로 출력 $Y(s)$는

$$Y(s) = G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \,\omega_n s + \omega_n^2}$$

이 된다. 이를 역라플라스 변환하면 감쇠비 $\zeta$에 따라 상이한 시간응답이 얻어진다. 특히 $\zeta < 1$인 부족감쇠(underdamped) 조건에서 다음과 같이 나타난다.

$$y(t) = \omega_n \,\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}} \, e^{-\zeta \omega_n t} \sin \bigl(\omega_d t \bigr), \quad \omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$$

$t = 0$에서의 초기 출력값은 0이며, 이후 지수함수적 감쇠와 함께 고유진동수가 $\omega_n$, 댐핑 효과가 $\zeta$에 의해 결정되는 진동성 응답을 나타낸다. 이때 $\omega_d$는 감쇠된 고유진동수(damped natural frequency)로서, 실제 진동 주파수에 해당하는 값을 결정한다. $\zeta$가 클수록 진동은 빨리 사라지며, $\zeta$가 작아질수록 응답은 더 느린 시간에서까지 진동 거동을 보인다.

임계감쇠(critical damping, $\zeta = 1$)의 경우, 두 극점이 중근으로 일치하며 오실레이션 없이 가장 빠르게 정상상태에 도달하는 형태를 띤다. 이때의 임펄스응답 식은

$$y(t) = \omega_n^2 t \, e^{-\omega_n t}$$

와 같은 꼴로 나타나며, 부족감쇠 때처럼 뚜렷한 진동 항은 존재하지 않는다.

과도감쇠(overdamped, $\zeta > 1$)는 두 극점이 모두 실수이며 서로 다른 부정 값(음수)을 갖는다. 이 경우 임펄스응답은 두 개의 지수함수 항이 합쳐진 형태로 나타난다. 부분분수 분해를 통해 일반적으로

$$y(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}$$

와 같은 꼴을 취하게 되는데, $s_1, s_2$는 시스템 극점이며 모두 음수이므로 응답은 단조감쇠(monotonically decaying) 형태를 띤다.

임펄스응답은 시스템의 자유응답(free response)과 직접적으로 연결되어 있다. 입력이 순간의 자극(임펄스)에 불과하므로, 그 뒤의 거동은 전적으로 시스템 내부의 각 모드에 의해 결정된다. 주파수영역 해석 측면에서 보면 임펄스응답은 시스템의 주파수 응답과 밀접히 연관된다(푸리에 변환 관점에서 임펄스는 모든 주파수 성분을 고르게 지니므로).

2차 시스템의 램프응답

이번에는 단위램프 입력

$$u(t) = t$$

의 라플라스 변환 $U(s) = \tfrac{1}{s^2}$을 고려한다. 같은 2차 표준형 전이함수에 대해 출력은

$$Y(s) = G(s) U(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \,\omega_n s + \omega_n^2} \cdot \frac{1}{s^2}$$

가 된다. 이를 부분분수 분해 후 역라플라스 변환하면 식이 상당히 복잡해지지만, 크게 두 가지 중요한 사실을 알 수 있다.

하나는 일반적인 2차 부족감쇠 시스템이라면, 램프 입력에 대한 정상상태 오차(steady-state error)가 유한하게 유지되지 않고, 일정 기울기로 증가하는 입력을 완벽히 추종하지 못하기 때문에 출력과 입력 사이에는 계속 차이가 쌓여 나간다는 점이다. 특히 비례제어 이득만 존재한다면, 대부분의 2차 시스템은 램프 입력에 대해 정상상태에서 무한대 오차를 나타낸다(최종값 정리로도 확인 가능).

두 번째는, $\zeta$가 너무 작을수록 시스템이 입력 변화에 과도하게 진동하며 추종 오차가 큰 편이고, $\zeta$가 너무 커도 반응 속도 측면에서 입력보다 크게 뒤처지는 과도응답 특성을 가질 수 있음을 의미한다. 이것은 시스템 설계에서, 램프 추종 특성을 향상시키기 위해 종종 적분제어(Integral control)나 다른 정밀 보상 기법을 추가적으로 사용해야 함을 시사한다.

이러한 램프응답 해석은 정밀 위치제어, 서보 기구(servo mechanism) 설계, 로봇 관절 제어 등에서 매우 중요한 문제이다. 램프 형태의 궤적(reference trajectory)을 어떤 오차로 따라갈 것인가, 그리고 그 오차를 제한된 시간 내에 얼마나 빠르게 줄일 것인가가 핵심이 되기 때문이다.

2차 시스템의 시간영역 지표

2차 시스템의 전형적인 계단응답(혹은 램프응답)에서 과도응답 특성을 수치화하기 위해 다음 시간영역 지표들이 주로 정의된다.

상승시간(rise time)은 출력이 0에서 최종값의 특정 비율에 도달하는 데 걸리는 시간, 최대 오버슈트(overshoot)는 과도응답에서 정상상태 최종값 대비 최대치가 얼마만큼 초과되는지를 나타낸다. 정착시간(settling time)은 출력이 최종값의 ±일정 범위(예: 2% or 5%) 내로 들어오는 시간을 말한다. 이들은 해석적으로도 유도 가능하며, $\zeta$와 $\omega_n$의 함수로 표시된다.

예를 들어 부족감쇠인 경우, 단위계단응답에서 최대치에 도달하는 시각 $t_p$는

$$t_p = \frac{\pi}{\omega_d} = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$$

와 같이 나타난다. 최대 오버슈트 비율 $M_p$ 역시 감쇠비 $\zeta$에 의해 결정되며,

$$M_p = \exp \biggl( -\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1-\zeta^2}} \biggr)$$

와 같은 지수식으로 정의된다. 정착시간은 $\zeta$가 달라짐에 따라 설정 기준에 맞춰 다양한 근사공식이 존재한다.

이러한 파라미터들은 공정제어, 기계제어, 항공우주제어 등에서 원하는 성능사양을 설계하기 위한 기초자료로 활용되며, 시간이 지남에 따라 주파수영역 설계기법과 함께 정밀 조정이 이루어진다. 응답 분석을 통해 추정된 $\zeta$와 $\omega_n$는 루트 궤적(root locus)이나 보드 선도(Bode plot) 해석과도 연결되어, 제어 이득이나 보상기 설계에 대한 직관을 제공한다.

고차(3차 이상) 시스템의 계단·임펄스·램프응답 개요

3차 이상의 시스템에서는 미분방정식의 차수가 높아지면서 극점의 수가 늘어나고, 그에 따라 과도응답이 더욱 복잡해진다. 추가 극점(또는 영점)의 존재로 인해 공진 효과, 저감쇠 모드, 빠른 모드와 느린 모드가 동시에 나타날 수 있다. 특히 다중모드가 포함된 시스템은 부분분수 분해에서 여러 개의 지수항(또는 복소지수항) 조합으로 표현되는데, 각 모드마다 다른 감쇠 특성과 고유진동수가 존재한다. 이 때문에 간단히 식을 외우기보다, 2차 시스템 응답해를 각각의 2차 부분시스템(혹은 1차+2차 등) 형태로 분석·분해하는 방식이 주로 쓰인다.

예를 들어 3차 시스템 전이함수

$$G(s) = \frac{K(s+z_1)}{(s+p_1)(s+p_2)(s+p_3)}$$

에 계단 입력이 주어졌다고 하면

$$Y(s) = G(s)\cdot \frac{1}{s}$$

형태를 나타낸다. 부분분수 분해를 하여 역라플라스 변환을 수행하면, 결국 $e^{-p_1 t}$, $e^{-p_2 t}$, $e^{-p_3 t}$가 포함된 항들이 출력 응답에서 섞여 나올 것이다. $p_1, p_2, p_3$ 각각은 실수 혹은 복소수(복소쌍이면 부족감쇠 모드)의 형태를 가질 수 있으며, 이들의 상대적 크기와 부호, 복소 주파수 성분 등에 의해 응답이 결정된다.

고차 시스템의 임펄스응답 역시 여러 극점들의 합성 결과로 나타나며, 입력 에너지가 매우 순간적으로 주어지므로 이후의 시간영역 거동은 완전히 시스템 모드들 간의 상호작용으로 전개된다. 램프응답에 대해서도, 전체 극점들이 유한 번이나 적분 특성을 거치면서(예: $1/s^2$ 곱해지고 분해) 복합적인 과도특성과 정상상태 특성이 나오는 것이 일반적이다.

변수분리 접근: 모드 해석

고차 시스템의 전이함수 $G(s)$가 유리함수 형태로 주어졌을 때, 대응되는 상태방정식을 구성하면 상태변수 $\mathbf{x}(t)$가 갖는 해는 고유값(=극점)들에 대응되는 모드의 중첩으로 표현된다. 각 모드는 기본적으로 $e^{\lambda_i t}$ 꼴(또는 $e^{\sigma t}\sin(\omega t)$ 꼴)을 갖는다. 임펄스응답, 계단응답, 램프응답은 모두 이 모드들이 서로 합쳐진 형태이므로,

$$y(t) = \sum_i \alpha_i e^{\lambda_i t} + \sum_j \beta_j t \,e^{\lambda_j t} + \dots$$

와 같이 전개된다. 여기서 $\lambda_i$는 극점, $\alpha_i, \beta_j$ 등은 초기조건이나 입력변환 등에 의해 결정되는 계수다.

이처럼 시스템이 여러 모드를 가지면 특정 모드는 빠른 시간에 감쇠되고, 다른 모드는 비교적 긴 시간 동안 잔존하여 응답을 지배할 수 있다. 이에 따라 실제 제어 시스템에서는 높은 차수의 복잡한 과도응답을 단순화하기 위해 극점을 분산(분리)하거나, 시스템의 일부 모드를 적극적으로 제어(폴 배치, 추정 등)하여 원하는 응답을 만들기도 한다.

###초기값 정리와 최종값 정리 시간영역 응답 해석에서 자주 쓰이는 라플라스변환 성질로 초기값 정리와 최종값 정리가 있다. 이 정리들은 계단·임펄스·램프응답 등 다양한 입력에서 $t=0$ 근방 혹은 $t \to \infty$ 근방의 값을 직관적으로 추정할 수 있게 도와준다.

초기값 정리(initial value theorem)는

$$\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} s F(s)$$

로 표현되며, $f(t)$는 시간영역 함수, $F(s)$는 그 라플라스 변환이다. 단, $f(t)$가 유한한 초기값을 갖는다는 전제가 있어야 하며, 극점이 $s \to \infty$ 근방에서 특이성을 일으키지 않아야 한다.

최종값 정리(final value theorem)는

$$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s F(s)$$

와 같다. 이때도 안정계(즉, 모든 극점의 실수부가 음수)에 대해서만 유효하며, $f(t)$의 최종값이 유한해야 한다. 이를 통해 단위계단응답에서의 정상상태값, 단순 램프응답에서의 발산 여부를 빠르게 판별할 수 있다.

예를 들어, 1차 시스템에 단위계단 입력이 주어졌을 때

$$Y(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \cdot \frac{1}{s}$$

에 대해 최종값 정리를 적용하면

$$\lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{K}{(\tau s + 1) s} = \lim_{s \to 0} \frac{K}{\tau s + 1} = K$$

임을 즉시 알 수 있다.

2차 시스템 등에서도, 정상상태에서 회로가 안정이고 극점들이 모두 왼쪽 반평면에 존재한다면, 단위계단 입력에 대한 정상상태값, 램프 입력에 대한 정상상태 오차의 발산 여부 등을 이 정리를 통해 간단히 점검할 수 있다.

컨볼루션 적분을 통한 시간영역 해석

라플라스변환에 의존하지 않고 순수 시간영역에서 시스템의 임펄스응답 $h(t)$를 알고 있다면, 임의 입력 $x(t)$에 대한 출력 $y(t)$는 컨볼루션 적분

$$y(t) = \int_{0}^{t} h(\tau)\, x(t - \tau) \, d\tau$$

으로 직접 기술 가능하다. 예를 들어 $x(t)$가 단위계단 $u(t)$인 경우에는 단순히 적분과정에서 $x(t-\tau)$가 상수(=1)로 작용하는 구간이 늘어나므로, 결과가 시스템의 누적효과를 반영한 지수함수적 응답으로 귀결된다.

고차 시스템일수록 $h(t)$ 자체가 복잡해지며, 여러 극점들의 합성 형태를 갖는다. 그러나 컨볼루션 적분으로 접근하면, 특별히 비선형적이지 않은 선형 시불변 시스템(LTI)에서는 입력과 임펄스응답의 합성만으로 결과가 전개된다는 중요한 결론을 직관적으로 이해할 수 있다. 이 사실은 주파수영역 응답(푸리에 변환) 해석과도 직결되며, 필터나 회로 해석에서 매우 기본이 된다.

시간영역에서의 계단·임펄스·램프응답은, 결국 모두가 컨볼루션 적분의 특정한 경우에 해당한다. 이 중 임펄스응답은 시스템의 “고유 특성”이 직접 들어간 가장 기본적인 응답이며, 계단응답과 램프응답은 시스템에 대한 적분 연산(단위계단의 적분=램프, 임펄스의 적분=계단 등)으로 연결되어 있다.

시스템 성능지표와 정상상태 오차

선형시불변 시스템에서 흔히 다루는 성능지표 중 하나는 정상상태 오차(steady-state error)다. 주로 계단·램프·가속도 등 기본 입력에 대해 오차가 궁극적으로 얼마가 되는지를 평가해, 시스템이 특정 형태의 입력을 어느 정도 정확도로 추종할 수 있는지 판단한다. 이를 위해 고전제어에서는 오차상수(error constant)라는 개념을 정의한다.

예를 들어 단위계단 입력에 대한 정상상태 오차를 $e_{\mathrm{ss}}$라 하고, 전이함수가 다음과 같이 주어진 폐루프 시스템이라고 하자

$$T(s) = \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{K G(s)}{1 + K G(s)}$$

여기서 $K$는 루프 이득, $G(s)$는 개루프 전이함수다. 라플라스 영역에서 $E(s) = R(s) - Y(s)$이므로

$$E(s) = R(s) - T(s)R(s) = \bigl( 1 - T(s) \bigr) \, R(s) = \frac{1}{1 + K G(s)} \, R(s)$$

이때 단위계단 입력 $R(s) = \tfrac{1}{s}$에 대해 최종값 정리를 적용하면

$$e_{\mathrm{ss}} = \lim_{t \to \infty} e(t) = \lim_{s \to 0} s E(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{1 + K G(s)} \cdot \frac{1}{s} = \lim_{s \to 0} \frac{1}{1 + K G(s)} \,.$$

만일 $G(s)$가 영점·극점을 포함해 특정 차수를 갖는 다항식이라면, $s \to 0$에서의 극점·영점 배치와 $K$값에 따라 이 정적 오차가 0이 될 수도, 유한값이 될 수도, 혹은 발산할 수도 있다. 이는 고전제어에서 흔히 $K_p, K_v, K_a$라는 오차상수를 이용해 분류하기도 한다.

계단입력(위치 입력)에 대한 오차상수 $K_p = \lim_{s \to 0} G(s)$, 램프입력(속도 입력)에 대한 오차상수 $K_v = \lim_{s \to 0} sG(s)$, 가속도입력에 대한 오차상수 $K_a = \lim_{s \to 0} s^2 G(s)$로 정의하고, 개루프 전달함수의 극점과 영점의 위치에 따라 정상상태 오차가 달라진다. 예컨대 개루프 전달함수에 적분 요소 $1/s$가 있으면(즉 극점이 원점에 있으면) 계단입력에 대해 정상상태 오차가 0으로 만들어진다. 이는 속도제어, 위치제어 등의 문제에서 주로 등장한다.

###전달함수의 극점 배치가 시간응답에 미치는 영향 계단·임펄스·램프입력에 대한 시간응답 해석은 시스템 극점의 실수부(감쇠)와 허수부(진동 주파수)가 어떻게 분포되어 있는지에 따라 달라진다. 극점이 모두 왼쪽 반평면에 있다면(안정계), 입력을 제거한 뒤에도 출력은 영(0) 근처로 감쇠된다. 만약 한 극점이 오른쪽 반평면에 있으면 시스템은 불안정해져 임펄스응답이나 계단응답이 발산한다.

복소공액 쌍 극점이 존재하면 그와 관련된 모드는 진동을 유발하게 되며, 감쇠비 $\zeta$가 작을수록 진동이 커진다. 계단응답에서는 전형적인 진동형 과도응답이 나타나고, 임펄스응답에서는 감쇠진동(under-damped)이 두드러지게 관찰된다. 영점의 존재 또한 시간응답에 영향을 줄 수 있다. 실영점(real zero)은 과도응답에서 출력 신호의 변곡점을 발생시키거나 응답 속도를 높이거나 늦추는 등의 효과를 낳는다. 복소영점(complex zero)은 위상 변화를 유발해 오버슈트나 언더슈트에 영향을 끼칠 수 있다.

상태방정식을 통한 시간응답 표현

전달함수를 이용하지 않고, 상태방정식

$$\dot{\mathbf{x}}(t) = A\,\mathbf{x}(t) + B\,u(t), \quad y(t) = C\,\mathbf{x}(t) + D\,u(t)$$

으로 시스템을 표현할 수도 있다. 이를 라플라스 영역에서 해석할 때,

$$s\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) = A\,\mathbf{X}(s) + B\,U(s)$$

이 되어

$$\mathbf{X}(s) = \bigl( sI - A \bigr)^{-1} \mathbf{x}(0) + \bigl( sI - A \bigr)^{-1} B\,U(s)$$

응답 $y(t)$는 이를 다시 라플라스 역변환하여 얻는다. 상태방정식을 활용하면 내부 상태변수 $\mathbf{x}(t)$의 과도 거동을 상세히 해석할 수 있어, 단순히 출력 $y(t)$만 보는 전달함수 접근과 달리 시스템 내부 동작을 면밀히 파악할 수 있다. 특히 다차원 시스템에서 모드별 감쇠 특성을 살펴보고, 특정 모드가 외부 입력에 어떻게 반응하는지를 조사하는 데 큰 이점이 있다.

시간영역 해석의 실제 적용

현장에서 시스템 동작을 테스트할 때, 계단 입력을 갑작스럽게 인가하거나(온도제어, 서보 구동기 등), 임펄스와 유사한 짧은 자극(해머 충격 테스트나 진동 분석) 등을 가하는 실험이 흔하다. 램프 입력은 특정 속도로 위치를 변화시키는 모션 제어나, 전압이 서서히 증가·감소하는 전력 테스트 상황에서 자주 접하게 된다. 이때 출력 응답의 과도시간, 오버슈트, 정상상태 오차 등을 통해 설계된 제어기의 성능을 평가한다.

아래에는 2차 예제 시스템에 대해, Python을 이용해 계단응답과 램프응답을 수치해석하는 방법의 간단한 예시를 보인다.

import sympy as sp

# 심볼 정의
s = sp.Symbol('s', complex=True)
omega_n = 5.0   # 자연진동수
zeta = 0.2      # 감쇠비

# 2차 표준형 전달함수 G(s)
G_s = omega_n**2 / (s**2 + 2*zeta*omega_n*s + omega_n**2)

# 계단 입력 1/s
U_step = 1/s
Y_step = sp.simplify(G_s * U_step)

# 램프 입력 1/s^2
U_ramp = 1/s**2
Y_ramp = sp.simplify(G_s * U_ramp)

# 부분분수 분해
Y_step_pf = sp.apart(Y_step)
Y_ramp_pf = sp.apart(Y_ramp)

print("계단응답의 라플라스 표현:")
print(Y_step_pf)
print("\n램프응답의 라플라스 표현:")
print(Y_ramp_pf)

# 시간영역 역변환
t = sp.Symbol('t', real=True, positive=True)
y_step_time = sp.inverse_laplace_transform(Y_step_pf, s, t)
y_ramp_time = sp.inverse_laplace_transform(Y_ramp_pf, s, t)

print("\n계단응답의 시간영역 해:")
print(sp.simplify(y_step_time))
print("\n램프응답의 시간영역 해:")
print(sp.simplify(y_ramp_time))

이런 식으로 라플라스 변환 표준 라이브러리를 활용하면, 2차 시스템의 다양한 입력(계단, 임펄스, 램프)에 대해 부분분수 분해와 역변환 과정을 자동화할 수 있다. 실제로 구현된 제어 시스템에서는 $K, \zeta, \omega_n$ 등의 파라미터가 기기나 공정의 물리적 특성(질량, 감쇠, 스프링 상수 등)에 의해 결정되므로, 시간영역 응답을 통해 설계 및 튜닝 지표를 얻게 된다.

시스템 형식(Type)에 따른 계단·램프응답 특성

클래식 제어이론에서 폐루프 전달함수의 극점·영점 배치만큼이나 중요한 개념이 시스템 형식(Type) 구분이다. 이는 개루프 전달함수의 원점 극점(적분 성분) 개수로 분류하며, 시스템 형식이 높아질수록 보다 높은 차수의 적분 행동을 수행한다. 일반적으로 피드백 제어 블록선도에서

$$G(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$$

라는 개루프 전달함수를 갖고, 유니티 피드백(단순 단위 피드백)을 가정할 때 폐루프 전달함수는

$$T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)}.$$

시스템 형식 구분

• 0형 시스템(Type 0 system): 개루프 전달함수 $G(s)$에 원점 극점(적분 요소)이 없는 경우이다.

• 1형 시스템(Type 1 system): $G(s)$에 단일 적분 요소($1/s$)가 존재한다.

• 2형 시스템(Type 2 system): $G(s)$에 적분 요소가 두 개($1/s^2$) 포함되어 있다.

• 그 이상도 같은 방식으로 확장 가능하다.

이렇게 정의된 형식은 주로 계단(step), 램프(ramp), 포물선(parabolic) 입력 등에 대한 정상상태 오차가 어떻게 결정되는가를 밝히는 데 쓰인다.

0형 시스템(Type 0)의 응답

개루프에 적분 성분이 없으므로, 가장 단순한 형태라 할 수 있다.

계단 입력에 대해서 정상상태 이득이 유한하다면 일반적으로 유한값의 정상상태 오차를 가진다.

램프 입력처럼 $1/s^2$가 들어오면, 최종값 정리에 의해 정상상태 오차가 보통 발산(무한대)한다.

물론 시스템 전달함수의 극점·영점 배치나 루프 이득 $K$값에 따라 예외도 생길 수 있지만, 가장 전형적인 결론은 “0형 시스템은 계단 추종에서 오차가 0이 되지 않고, 램프 추종은 불가능(오차 무한대)하다”고 요약된다.

1형 시스템(Type 1)의 응답

개루프 $G(s)$에 원점 극점이 하나 포함된 경우다. 즉, $G(s) = \tfrac{K}{s}\times(\text{다른 항})$ 형태가 될 수 있다.

계단 입력($1/s$)에 대해서는 시스템이 한 번 적분을 하기 때문에 정상상태 오차가 0이 될 수 있다.

램프 입력($1/s^2$)에 대해서는 정상상태 오차가 유한한 값으로 수렴한다. (통상 이를 속도오차상수 $K_v$로 정의)

다만 포물선 입력($1/s^3$)이 주어진다면 정상상태 오차가 무한대로 발산한다.

2형 시스템(Type 2)의 응답

개루프에 원점 극점이 두 개 포함된 형태로,

$$G(s) = \frac{K}{s^2} \times (\text{다른 항})$$

와 같을 수 있다. 계단 입력을 한 번 더 적분하게 되므로, 계단 입력과 램프 입력 모두 정상상태 오차가 0이 될 수 있다.

포물선 입력($1/s^3$)에 대해서는 유한값의 정상상태 오차를 갖는다.

그보다 차수가 높은 입력(예: $1/s^4$ 등)은 형식이 더 필요하다.

이와 같이 시스템 형식은 표준 시험 입력(계단, 램프, 포물선 등)에 대한 정상상태 거동을 한눈에 알려 주는 핵심 지표다. 실제 제어기 설계에서는, 원하는 추종 성능과 시스템 형식 간의 관계를 고려해 적분제어(또는 2중 적분제어)를 추가하기도 한다. 예컨대 위치 서보에서 계단 위치 변경에 오차가 남지 않도록 하기 위해서는 최소 1형 시스템을 만들어야 하므로, 모터 제어에 PI(Proportional+Integral) 제어를 도입하는 식의 설계가 이뤄진다.

시간응답에서 초기조건의 영향

위에서 살펴본 계단·임펄스·램프응답 해석은 대부분 “시스템 초기조건이 0”임을 가정하고 진행한다. 그러나 실제 물리 시스템에서는 회전 관성, 축적된 온도, 축전기 전하 등으로 인해 초기 상태가 0이 아닐 수도 있다. 이 경우 시간응답은

$$y(t) = \text{(자유응답)} + \text{(강제응답)}$$

형태로 나뉘어 해석된다.

자유응답(free response)은 입력이 0이라 가정했을 때의 해, 즉 초기조건만으로 인해 발생하는 응답이며 시스템 고유극점들의 조합으로 지수함수적 감쇠나 진동이 일어난다.

강제응답(forced response)은 외부 입력에 직접 기인한 응답으로, 라플라스변환에서 $G(s) U(s)$ 부분을 역변환한 결과다.

초기조건이 존재할 경우, 오버슈트나 서 settling time이 변동될 수 있으므로 실제 설계 단계에서 이를 무시하지 말아야 한다.

불안정 시스템에서의 시간응답

만약 시스템 극점 중 일부가 $s$ 평면의 오른편(양의 실수부)에 위치해 있으면(불안정 극점), 계단이나 임펄스 등의 입력에 대하여 출력이 발산하게 된다. 심지어 임펄스 입력이 0이라도(즉 입력이 아예 없더라도), 불안정 모드를 가진 자유응답이 지배적이 되어 $e^{+|a|t}$ 꼴로 무한정 커지거나 진동 폭이 커질 수 있다.

불안정 시스템에서는 최종값 정리 자체를 사용할 수 없다. $s \to 0$ 근방에 존재하는 극점이 만약 오른편 반평면에 있다면, 정상상태라는 개념이 성립하지 않을뿐더러 $y(t)$의 극한이 존재하지 않는다.

비선형성, 시변성 등에서의 한계

여기까지의 해석은 모두 선형 시불변 시스템(LTI: Linear Time-Invariant)을 가정했다. 현실의 제어 대상은 종종 비선형(예: 마찰, 유한 포화, 데드존 등) 특성을 보이거나, 파라미터가 시간에 따라 변하는 시변(time-varying) 특성을 지니기도 한다.

그럼에도 LTI 모델에서의 계단응답·임펄스응답·램프응답 해석이 중요한 이유는, 제어 시스템 설계 초기 단계에서 상대적으로 간단하고 직관적인 분석으로부터 시스템의 핵심 모드를 파악하고, 성능 요구사항(오버슈트, 정착시간, 정상상태 오차 등)에 대응시키기 쉽기 때문이다. 이후 필요하다면 비선형 요소를 선형 근사하거나, 게인 스케줄링(gain scheduling) 등을 통해 시변성을 보정하는 고차원 기법을 쓴다.

주파수응답 해석과의 연결

시간영역 응답 분석은 주파수영역 분석과 서로 보완적이다. 예를 들어 임펄스응답 $h(t)$의 푸리에 변환은 시스템의 주파수응답 $H(j\omega)$가 되므로, 임펄스응답이 어떻게 감쇠되고 진동하는지는 주파수 대역에서의 공진 피크, 대역폭 등과 연결된다.

계단응답, 램프응답 등은 각각 적분된 형태로서, 저주파 대역에서의 시스템 이득 특성을 간접적으로 보여준다. 시스템이 저주파 영역에서 매우 큰 이득을 가지면, 램프나 계단 입력에 대해 오차를 작게 만들 수 있다. 그러나 너무 큰 저주파 이득은 높은 주파수 대역에서 위상 여유를 감소시켜 과도진동이나 불안정 위험을 키울 수 있다.

실험적 계단응답 vs. 모의실험

이론적으로는 이상적 단위계단 입력이 순식간에 0에서 1로 상승하는 비연속 신호다. 실제 하드웨어에서는 전원 공급 장치나 신호발생기의 한계로 인해 완전히 순간적인 계단은 실현하기 어렵지만, 매우 빠른 구간에서 거의 계단 모양으로 상승시키는 방법을 사용한다.

실험에서의 계단응답으로부터 시스템의 시정수(1차 추정), 고유진동수·감쇠비(2차 추정), 혹은 비례이득·적분이득 추정 등의 정보를 추론해 낼 수 있다. 이를 기반으로 단순 모형을 구축한 뒤, 모의실험(시뮬레이션) 도구에서 전달함수 또는 상태방정식을 세팅하고, 계단·임펄스·랜덤 입력 등 여러 형태로 응답을 비교해 모델을 보정한다.

이 과정을 반복하며 실제 시스템과 모델 간 오차가 줄어든다면, 설계된 제어기는 모의실험 결과와 유사한 시간영역 성능을 실제 시스템에서도 재현하도록 기대할 수 있다. 물론 온도, 마찰, 타이어 접지력(차량), 바람(드론) 같은 비선형·교란 요소는 별도의 보상 설계가 필요하다.

시간영역 성능지표(적분오차 지표)

시간영역에서 시스템 응답의 품질을 평가할 때, 정상상태 오차나 과도응답 특성뿐만 아니라, 오차가 시간이 지나는 동안 누적되는 양을 측정하여 성능을 판단하기도 한다. 대표적으로 적분오차 지표가 널리 쓰이며, 이는 제어 시스템에서 실제 입력 추종성능 또는 교란 억제 성능을 종합적으로 평가하기 좋다.

가령 $\varepsilon(t)$를 시스템 목표값(참조 입력)과 실제 출력 사이의 오차라고 할 때, 다음과 같은 지표들이 정의된다.

적분제곱오차(Integral of the Square of the Error, ISE):

$$J_{\mathrm{ISE}} = \int_{0}^{\infty} \varepsilon^2(t)\, dt$$

적분절댓값오차(Integral of the Absolute Error, IAE):

$$J_{\mathrm{IAE}} = \int_{0}^{\infty} \lvert \varepsilon(t)\rvert\, dt$$

적분시간절댓값오차(Integral of Time-weighted Absolute Error, ITAE):

$$J_{\mathrm{ITAE}} = \int_{0}^{\infty} t \,\lvert \varepsilon(t)\rvert\, dt$$

적분시간제곱오차(Integral of Time-weighted Square Error, ITSE):

$$J_{\mathrm{ITSE}} = \int_{0}^{\infty} t \,\varepsilon^2(t)\, dt$$

오버슈트가 크더라도 빠르게 감쇠해서 최종 오차가 거의 없으면 IAE가 낮게 나올 수 있고, 반대로 적당한 오버슈트 이내로 제한하되 꾸준히 잔류진동이 길어지는 경우 ITSE가 크게 평가될 수도 있다. 이를 통해 설계자는 어떤 지표가 목적함수로 적합한지 결정하고, 그에 맞는 제어기 파라미터(예: PID 이득)를 자동 튜닝하거나 수작업으로 조정한다.

특히 ITAE 지표가 최적화되도록 설계된 시스템은 일반적으로 오버슈트와 진동이 적으면서도 빠른 안정성을 확보하는 특성을 갖는다. 그래서 여러 교재에서 “ITAE 최적 튜닝값” 표가 제시되기도 하며, 실제 산업 제어 로직에서 PID 계수를 ITAE 규준에 맞춰 조정하는 일이 자주 있다.

루트 궤적(Root Locus)과 시간응답

시간영역 응답 분석에서 매우 중요한 설계·해석 도구 중 하나가 루트 궤적(root locus) 기법이다. 이는 개루프 전달함수 $G(s)$가 주어졌을 때, 피드백 이득 $K$를 0에서 $\infty$까지 변화시켰을 때 폐루프 극점(=특성방정식 근)이 $s$ 평면에서 어떻게 이동해 가는지를 시각적으로 보여준다.

루트 궤적을 보면 극점이 왼쪽 반평면으로 멀리 이동할수록 시스템은 빠르게 감쇠하는 경향을 보이고, 복소공액 극점이 주파수축 근처로 이동할수록 진동성분이 커지는 사실을 알 수 있다. 계단응답에서 최대 오버슈트나 정착시간 등을 개선하기 위해서는 극점을 적절히 배치해야 한다. 2차 근사(주요 두 극점만 복소공액, 나머지는 매우 빠른 감쇠)로 생각하면 부족감쇠 조건에서 $\zeta$와 $\omega_n$가 결정되므로, 시스템 과도특성을 원하는 수준으로 만들 수 있다.

계단·임펄스·램프응답 모두 이런 극점 배치의 영향을 뚜렷이 받으며, 루트 궤적 상에서 이득 $K$를 변화시키면 과도응답이 어떻게 변하는지 직관적으로 파악할 수 있다. 예를 들어 1형 시스템이 되도록 극점 하나를 원점에 추가하면(적분제어 도입 등), 램프응답에서 정상상태 오차가 유한해지며 계단응답에는 오차가 없어지는 효과가 있다.

실험 기반 응답 곡선으로부터의 모델 추정

제어공학 입문 단계에서 흔히 접하는 방법 중 하나는 계단응답을 실제로 측정하고, 그 결과로부터 1차·2차 또는 더 높은 차수의 근사 모델 파라미터를 추정하는 것이다. 이른바 “공정 반응 곡선(Process Reaction Curve) 기법”이라 불리며, 주로 화학 공정 또는 온도 제어 분야에서 널리 활용된다.

예를 들어 1차 지연요소(First-Order Plus Dead Time, FOPDT) 모델:

$$G(s) \approx \frac{K}{\tau s + 1} e^{-Ls}$$

형태를 가정하고, 계단응답 측정곡선에서 시간지연 $L$, 시정수 $\tau$, 이득 $K$를 찾는 식이다. 물리적 시스템에 고유한 운전 지연(dead time)과 동적 특성을 합리적으로 반영한다면, 간단한 1차·2차 모델만으로도 계단·임펄스·램프 응답을 충분히 예측할 수 있다. 실제 제어기는 이 모델 기반으로 PID 파라미터를 튜닝해 과도응답과 정상상태 성능을 일정 수준 이상 만족시킨다.

복잡 계단입력과 변형된 램프입력

실제 응용에서는 간단한 단위계단이나 선형 램프뿐 아니라, S자 형태로 상승·하강하는 입력, 다단 스텝(multi-step) 입력, 삼각파(triangle) 또는 사다리꼴(trapezoidal) 파형 등 다양한 형태를 준다. 이런 입력들은 일정 구간에서 계단 모양을 유지하거나, 또는 유한 속도와 유한 가속도(=구배가 일정한 램프와 또 다른 형태)를 갖는다.

이 모든 경우에도 선형 시불변 시스템에서는 슈퍼포지션(superposition) 원리가 성립하고, 입력 신호가 임펄스들의 합으로 분해될 수 있다면(적분 혹은 푸리에 해석), 결국 임펄스응답의 컨볼루션 형태로 출력을 예측 가능하다. 다만 시간영역에서 직접 시뮬레이션할 때는 블록 다이어그램 시뮬레이터(예: MATLAB/Simulink, Python의 control 라이브러리 등)를 많이 사용한다.

래글러-니콜스(Ziegler–Nichols) 튜닝과 시간응답

PID 제어기의 고전적 튜닝 기법인 래글러-니콜스 방법은 계단응답(또는 임계이득 접근) 측정을 바탕으로 제어기를 초기에 세팅하는 대표적 예시다. 개략적으로 다음 절차를 따른다

• 무한대 이득(또는 P 제어만 적용)으로 두고 점차 이득을 높여 오실레이션을 만들어 본다.

• 임계이득 $K_{\mathrm{cr}}$와 임계주기 $T_{\mathrm{cr}}$를 찾는다.

• 특정 공식에 따라 $K_p, T_i, T_d$를 설정한다(P, PI, PID 중 원하는 구성에 따라).

이렇게 하면 계단응답이나 램프응답에서 어느 정도 빠른 응답과 적당한 진동 허용범위를 갖는 제어기가 형성된다. 물론 현대에는 ITAE나 ISE 기준, 혹은 모델 예측 제어(MPC) 등 더 정교한 방법이 많지만, 래글러-니콜스는 아직도 입문 수준에서 “계단응답을 관측하여 대략적인 초기값을 얻는” 기본 아이디어로 쓰인다.

고차·비선형 대역에서의 다른 시험입력

상위 제어기법(예: H∞ 제어, 슬라이딩 모드 제어, 적응제어 등)에서는 단순 계단응답보다 더 복잡한 시험 시나리오를 설정하여 시스템 거동을 관찰한다. 예컨대 단계적으로 바뀌는 램프, 또는 변동폭이 큰 계단 입력 여러 번을 인가해가며 제어기가 충분히 강인(robust)하게 반응하는지 살핀다.

임펄스응답 시험은 물리적으로 큰 충격을 주는 것이 위험할 수 있으므로, 안전한 방식으로 짧은 펄스를 흘려보내거나 인공 교란을 넣고 측정 장비로 데이터를 축적한다. 램프의 경우도 단순 $t$가 아닌 구간별 선형 증가, 혹은 곡선으로 가속·감속을 제어하여 실제 운용 상황을 반영한다.

정리: 시간영역 해석의 큰 틀

궁극적으로 계단응답, 임펄스응답, 램프응답은 라플라스 변환 상에서 $\tfrac{1}{s}$, $1$, $\tfrac{1}{s^2}$에 해당하며, 이는 선형 시불변 시스템의 시간영역 해석에서 아주 기본이 되는 벤치마크 입력이다. 이를 통해 1차·2차 시스템의 과도응답 특성을 학습하고, 고차 시스템이 되면 여러 극점 조합으로 응답이 구성된다는 사실을 이해하게 된다. 정상상태 오차, 최대 오버슈트, 감쇠진동, 정착시간 등 다양한 지표가 이 분석을 뒷받침한다.

이후 주파수응답 분석(보드 선도, 나이퀴스트, 니콜스 등)과 결합되면 시스템 안정성과 성능을 포괄적으로 조망할 수 있으며, 실제로는 이러한 여러 시각의 해석 도구와 실험·시뮬레이션 결과를 종합해 제어 시스템을 완성한다. 따라서 제어공학 입문에서 시간영역 해석(계단·임펄스·램프응답 등)을 철저히 이해하는 것은, 향후 고급 제어기법을 다룰 때에도 매우 중요한 기반 역량이 된다.