반대칭 행렬 (Skew-Symmetric Matrix)
정의 및 기본 성질
반대칭 행렬(skew-symmetric matrix) 또는 반대칭 행렬은 정방 행렬(square matrix) $ A $가 $ A^T = -A $를 만족하는 행렬을 의미한다. 여기서 $ A^T $는 행렬 $ A $의 전치 행렬(transpose matrix)을 나타내며, $ -A $는 행렬 $ A $의 모든 원소에 -1을 곱한 행렬을 의미한다. 반대칭 행렬의 주 대각선 요소(diagonal elements)는 항상 0이 된다. 이는 $ A_{ii} = -A_{ii} $를 만족하는 유일한 실수 $ A_{ii} $는 0이기 때문이다.
반대칭 행렬의 가장 기본적인 성질 중 하나는, 행렬 $ A $의 모든 비대각선 요소(off-diagonal elements) $ A_{ij} $는 $ A_{ij} = -A_{ji} $를 만족한다는 점이다. 이로 인해 행렬 $ A $의 상삼각 행렬(upper triangular matrix) 부분만 알면, 하삼각 행렬(lower triangular matrix) 부분은 자동으로 결정된다.
행렬의 고유값 및 고유벡터
반대칭 행렬 $ A $의 고유값(eigenvalue)은 항상 순허수(purely imaginary) 또는 0이다. 즉, 만약 $ \lambda $가 $ A $의 고유값이라면, $ \lambda $는 0이거나 $ \lambda = i\mu $의 형태로 나타낼 수 있으며, 여기서 $ i $는 허수 단위(imaginary unit), $ \mu $는 실수이다.
이러한 성질은 반대칭 행렬 $ A $의 고유벡터(eigenvector)가 항상 복소수(complex number) 성분을 가진다는 사실을 시사한다. 그러나, $ A $가 실수 행렬(real matrix)인 경우에도 고유벡터는 실수 성분만 가질 수 있다. 이는 고유값이 0일 때 발생한다.
반대칭 행렬의 행렬식과 트레이스
반대칭 행렬의 행렬식(determinant)은 $ n $이 홀수일 경우 항상 0이다. 이는 반대칭 행렬의 고유값이 짝수 개의 비영 고유값(non-zero eigenvalues)을 가지기 때문이다. 만약 $ n $이 짝수라면, 행렬식은 반대칭 행렬의 고유값의 곱에 의해 결정된다.
트레이스(trace)는 반대칭 행렬의 대각선 성분(diagonal elements)의 합이기 때문에 항상 0이다. 이는 앞서 설명한 바와 같이, 반대칭 행렬의 주 대각선 요소는 모두 0이기 때문이다.
반대칭 행렬의 특이값 분해
반대칭 행렬의 특이값 분해(singular value decomposition, SVD)는 일반적으로 정방행렬에 대해 적용될 수 있지만, 반대칭 행렬의 경우 특이값(singular value)은 모든 행렬의 크기가 짝수일 때, 짝수 개의 비영 특이값을 가지는 경향이 있다. 이로 인해 반대칭 행렬은 행렬의 차원이 높아질수록 비영 특이값의 쌍을 형성한다.
반대칭 행렬의 행렬 연산
두 반대칭 행렬 $ A $와 $ B $의 합 $ A + B $ 역시 반대칭 행렬이다. 또한, 실수 상수 $ c $에 대한 반대칭 행렬 $ A $의 스칼라 곱 $ cA $도 반대칭 행렬이다. 하지만 반대칭 행렬의 곱셈은 반대칭성을 보존하지 않으며, 두 반대칭 행렬의 곱 $ AB $는 일반적으로 반대칭 행렬이 아니다.
이와 관련된 중요한 특성은 반대칭 행렬의 역행렬(inverse matrix)이 존재할 경우, 그 역행렬은 반대칭 행렬이 아니라는 점이다. 또한, 반대칭 행렬의 거듭제곱(power)은 홀수 거듭제곱일 때 반대칭 행렬을 유지할 수 있으나, 짝수 거듭제곱에서는 일반적으로 그렇지 않다.
반대칭 행렬의 고유 분해
반대칭 행렬은 고유값 분해(eigenvalue decomposition)를 통해 고유벡터로 구성된 행렬 $ Q $와 고유값을 대각선에 가지는 대각행렬 $ \Lambda $로 분해할 수 있다. 여기서 $ Q $는 직교 행렬(orthogonal matrix)이며, $ A = Q \Lambda Q^T $로 표현된다.
반대칭 행렬의 고유값 분해는 대각화(diagonalization)를 통해 $ A = Q\Lambda Q^T $로 표현될 수 있으며, 이 때 $ \Lambda $는 대각선에 순허수 고유값을 가지는 대각행렬이다. 이는 반대칭 행렬이 항상 유니타리 행렬(unitary matrix)로 대각화될 수 있음을 의미한다.
관련 자료:
Horn, Roger A., and Charles R. Johnson. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012.
Golub, Gene H., and Charles F. Van Loan. Matrix Computations. Johns Hopkins University Press, 2013.
Lancaster, Peter, and Miron Tismenetsky. The Theory of Matrices. Academic Press, 1985.
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