# 선형대수 (Linear Algebra) 개요

#### 벡터 공간 (Vector Space)

**벡터 공간**은 선형대수의 중심 개념으로, 이는 벡터의 집합이며 두 가지 연산, 즉 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈이 정의된 집합이다. 벡터 공간의 원소들은 벡터라고 불리며, 스칼라 필드 $ F $ (일반적으로 실수체 $ \mathbb{R} $ 또는 복소수체 $ \mathbb{C} $)에 대해 닫혀 있다. 벡터 공간은 다음과 같은 공리들을 만족해야 한다:

1. **벡터 덧셈의 결합법칙 (Associativity of vector addition):** $ (u + v) + w = u + (v + w) $ for all $ u, v, w \in V $.
2. **벡터 덧셈의 교환법칙 (Commutativity of vector addition):** $ u + v = v + u $ for all $ u, v \in V $.
3. **덧셈 항등원 (Additive identity):** 존재하는 0벡터 $ 0 \in V $로서 $ v + 0 = v $ for all $ v \in V $.
4. **덧셈 역원 (Additive inverse):** 각 $ v \in V $에 대해 $ v + (-v) = 0 $이 성립하는 $ -v \in V $가 존재.
5. **스칼라 곱의 분배법칙 (Distributivity of scalar multiplication):** $ a(u + v) = au + av $와 $ (a + b)v = av + bv $ for all $ u, v \in V $ and all $ a, b \in F $.
6. **스칼라 곱의 결합법칙 (Associativity of scalar multiplication):** $ a(bv) = (ab)v $ for all $ a, b \in F $ and all $ v \in V $.
7. **스칼라 곱의 항등원 (Scalar identity):** 1벡터 $ 1 \in F $로서 $ 1v = v $ for all $ v \in V $.

#### 기저 (Basis)와 차원 (Dimension)

벡터 공간의 \*\*기저(Basis)\*\*는 그 공간의 모든 벡터를 선형 결합으로 생성할 수 있는 벡터들의 집합이다. 더 구체적으로, 기저는 다음 조건을 만족하는 벡터 집합 $ {v\_1, v\_2, \dots, v\_n} $이다:

1. **선형 독립성 (Linear Independence):** 기저의 모든 벡터는 선형 독립적이다. 즉, $ c\_1 v\_1 + c\_2 v\_2 + \dots + c\_n v\_n = 0 $일 때, $ c\_1 = c\_2 = \dots = c\_n = 0 $이어야 한다.
2. **생성 (Span):** 벡터 공간의 임의의 벡터 $ v $는 기저의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 즉, $ v = a\_1 v\_1 + a\_2 v\_2 + \dots + a\_n v\_n $가 성립한다.

벡터 공간의 \*\*차원(Dimension)\*\*은 기저 벡터의 수와 같다. 차원은 벡터 공간의 크기를 나타내며, 모든 기저는 동일한 수의 벡터를 갖는다.

#### 선형 변환 (Linear Transformation)

**선형 변환**은 두 벡터 공간 $ V $와 $ W $ 사이의 함수 $ T: V \rightarrow W $로, 다음 두 조건을 만족한다:

1. **가법성 (Additivity):** $ T(u + v) = T(u) + T(v) $ for all $ u, v \in V $.
2. **동차성 (Homogeneity):** $ T(cu) = cT(u) $ for all $ u \in V $ and $ c \in F $.

선형 변환은 주어진 벡터 공간의 구조를 보존하며, 선형 변환의 행렬 표현(matrix representation)을 통해 그 성질을 분석할 수 있다. 선형 변환의 행렬 표현은 특정 기저에 따라 결정되며, 변환 전후의 벡터를 다른 기저에 대해 표현할 경우, 행렬은 변환될 수 있다.

#### 행렬 (Matrix)

\*\*행렬(Matrix)\*\*는 선형 변환을 표현하는 표 형태의 수로, 벡터 공간 간의 선형 변환을 설명한다. $ m \times n $ 행렬 $ A $는 다음과 같은 성질을 갖는다:

* **덧셈:** 동일한 크기의 행렬 $ A $와 $ B $에 대해, 각 성분별로 더해지는 $ A + B $를 정의할 수 있다.
* **스칼라 곱:** 행렬의 각 성분을 스칼라 $ c $로 곱한 행렬 $ cA $를 정의할 수 있다.
* **행렬 곱셈:** $ A $와 $ B $가 각각 $ m \times n $ 및 $ n \times p $ 행렬일 때, 행렬 곱 $ AB $는 $ m \times p $ 행렬로 정의된다. 이는 $ AB $의 $ (i, j) $ 성분이 $ A $의 $ i $번째 행과 $ B $의 $ j $번째 열의 내적(inner product)으로 주어진다.

행렬의 연산은 벡터 공간 및 선형 변환을 다루는 중요한 도구이다.

#### 고유값과 고유벡터 (Eigenvalues and Eigenvectors)

선형 변환 $ T: V \rightarrow V $에서, 벡터 $ v $가 $ T(v) = \lambda v $를 만족하면, $ v $는 $ T $의 \*\*고유벡터(Eigenvector)\*\*이고, $ \lambda $는 대응되는 \*\*고유값(Eigenvalue)\*\*이다. 이때, 고유벡터는 변환에 의해 방향이 변하지 않으며, 크기만 변한다. 고유값과 고유벡터는 행렬의 특성을 이해하는 중요한 도구로, 행렬의 대각화(diagonalization) 가능성 및 안정성(stability) 분석에 사용된다.

#### 내적 공간 (Inner Product Space)

**내적 공간**은 벡터 공간 $ V $에 내적(inner product)이라는 추가적인 구조가 정의된 경우를 말한다. 내적은 두 벡터 $ u, v \in V $에 대해 $ \langle u, v \rangle $로 표시되며, 다음과 같은 성질을 갖는다:

1. **양의 정부호성 (Positive Definiteness):** $ \langle v, v \rangle \geq 0 $이며, $ \langle v, v \rangle = 0 $이면 $ v = 0 $이다.
2. **선형성 (Linearity):** 첫 번째 변수에 대해 선형이다, 즉, $ \langle au + bv, w \rangle = a \langle u, w \rangle + b \langle v, w \rangle $이다.
3. **대칭성 (Symmetry):** $ \langle u, v \rangle = \overline{\langle v, u \rangle} $ (복소수의 경우 복소켤레)이다.

내적 공간은 벡터의 길이와 각도를 정의할 수 있게 해주며, 이로 인해 직교성(orthogonality) 및 정규성(normality) 등의 개념이 자연스럽게 도입된다.