모함수(Mother Wavelet)와 스케일링 함수

모함수(Mother Wavelet)의 정의

웨이블릿 변환에서 모함수는 전체 웨이블릿 계열을 생성하는 근본적인 함수이다. 임의의 시간 또는 공간 신호를 스케일과 시프트에 따라 다양한 형태로 변환하기 위해, 우선적으로 단 하나의 기준 함수를 정의하는데 이를 모함수(Mother Wavelet)라 한다. 모함수는 적분 가능한 함수를 전제로 하며, 특정 조건(예: 어드미서빌리티 조건)을 만족해야 한다.

모함수의 스케일링과 시프트를 통해 만들어지는 웨이블릿 패밀리는 $\psi_{a,b}(t)$로 표기하며, 이는 다음과 같은 변환 형태를 갖는다.

$$\psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}}\psi\Bigl(\frac{t - b}{a}\Bigr)$$

위 식에서

• $\psi(t)$는 모함수,

• $a$는 스케일(확대/축소) 파라미터,

• $b$는 시프트(이동) 파라미터를 의미한다. 스케일 $a$와 시프트 $b$의 값에 따라 서로 다른 주파수 대역과 시간 구간을 동시에 관찰할 수 있다.

어드미서빌리티 조건은 모함수의 푸리에 변환을 통해 엄밀하게 정의한다. 모함수 $\psi(t)$의 푸리에 변환을 $\hat{\psi}(\omega)$라 할 때,

$$C_\psi = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\hat{\psi}(\omega)|^2}{|\omega|} \, d\omega$$

이 적분 가능한 유한값(0보다 큰 유한값)이면 그 함수를 웨이블릿 모함수로 사용할 수 있다. 이 조건은 웨이블릿 변환이 역변환을 통해 원래의 신호를 복원할 수 있도록 보장한다.

모함수의 선택과 일반적 특성

모함수는 분석 목적에 따라 여러 종류가 있으며, 한 번에 한 가지 함수를 선택해 사용한다. 예를 들어, Haar 웨이블릿은 정의가 간단하고 직관적 이해가 쉬우므로 가장 기본적인 모함수로 알려져 있다. 반면 Daubechies 계열(예: Daubechies 4, 8 등)은 더 부드러운 특성과 국소적 지원(support)을 갖도록 고안되었다.

모함수의 일반적 특성으로는 다음과 같은 것들이 있다.

• 국소적(Time Localization) 특성: 웨이블릿이 시간 축에서 비교적 짧은 구간 내에 정의된다.

• 대역폭 특성: 스케일에 따라 서로 다른 주파수 대역을 커버한다.

• 직교성 혹은 준직교성: 웨이블릿 패밀리가 상호 독립적(직교) 구조를 가질 수 있어, 불필요한 중복이 최소화된다.

스케일링 함수(Scaling Function)의 개념

스케일링 함수는 웨이블릿 변환을 다층적(Multi-Resolution) 관점에서 해석하는 데 필수적인 역할을 한다. 일반적으로 모함수가 빠른 변화를 포착한다면, 스케일링 함수는 원신호에서 비교적 느리거나 저주파 성분을 포착한다. 스케일링 함수를 종종 아버지 함수(Father Wavelet)로 지칭하기도 한다.

스케일링 함수를 $\phi(t)$로 두고, 웨이블릿 변환에서 계단식 해상도 구조(Multi-Resolution Analysis; MRA)가 적용되면, 스케일링 함수를 통해 구간별 저주파 정보를 표현하고, 모함수를 통해 고주파 정보를 표현한다. 웨이블릿 계수는 아래와 같이 표기할 수 있다.

$$\begin{aligned} &s_{j}[k] = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\phi_{j,k}(t) \, dt, \\ &d_{j}[k] = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\psi_{j,k}(t) \, dt, \end{aligned}$$

여기에서

• $s_{j}[k]$는 스케일링 함수(저주파) 계수,

• $d_{j}[k]$는 웨이블릿(고주파) 계수,

• $j$는 해상도 레벨,

• $k$는 시프트 인덱스,

• $\phi_{j,k}(t)$는 스케일링 함수를 스케일 $2^{-j}$만큼 축소, 시프트 $k$만큼 이동한 형태,

• $\psi_{j,k}(t)$는 모함수를 동일 스케일로 축소, 동일 시프트로 이동한 형태를 뜻한다.

다중해상도(Multi-Resolution) 구조와 관련성

모함수와 스케일링 함수는 다중해상도 분석이라는 프레임워크를 통해 서로 긴밀히 연관된다. 다중해상도 구조는 신호를 서로 다른 스케일에서 세밀하게 살펴볼 수 있도록 하는 계층적 분해 체계다. 낮은 해상도(큰 스케일)에서는 신호의 전반적 윤곽만 유지하고, 높은 해상도(작은 스케일)로 갈수록 세세한 국소적 특징까지 파악한다.

스케일링 함수는 주파수 스펙트럼의 저주파 대역을 담당하고, 모함수(웨이블릿)는 고주파 대역을 담당한다. 이를 수학적으로 정립하기 위해 스케일링 방정식과 웨이블릿 방정식을 활용한다. 예를 들어, 직교 웨이블릿 계열에서는 필터 뱅크 해석을 통하여 레벨별로 신호를 Decomposition(분해) 및 Reconstruction(재구성)하는 방식이 전형적으로 사용된다.

스케일링 방정식과 웨이블릿 방정식

스케일링 함수 $\phi(t)$는 스케일링 방정식을 만족한다. 예를 들어 Daubechies 웨이블릿에서 스케일링 방정식은 다음과 같은 형태가 된다.

$$\phi(t) = \sqrt{2} \sum_{n} h[n] \, \phi(2t - n)$$

여기서 $h[n]$은 스케일링 필터 계수를 의미한다. 한편, 모함수 $\psi(t)$는 웨이블릿 방정식을 만족한다.

$$\psi(t) = \sqrt{2} \sum_{n} g[n] \, \phi(2t - n)$$

$g[n]$은 웨이블릿 필터 계수로서, 스케일링 필터 $h[n]$와 동반 관계를 갖는다. 위 두 식은 이산 웨이블릿 변환(DWT)에서 필터뱅크 구조를 통해 구현될 수 있다.

시간–주파수 해석 관점에서의 모함수와 스케일링 함수

모함수와 스케일링 함수는 신호를 시간 영역과 주파수 영역에서 동시 해석하기 위한 핵심 수단이 된다. 모함수가 시간축에서 짧은 구간에 집중되어 급격한 변화나 에지(Edge) 성분을 포착하는 반면, 스케일링 함수는 보다 완만하고 저주파에 해당하는 내용을 유지한다. 이를 시간–주파수 해석 관점에서 살펴보면, 작은 스케일(예: $a$가 작을 때)의 모함수 변환은 높은 주파수 대역에서 발생하는 짧은 이벤트를 포착하고, 큰 스케일($a$가 클 때)의 모함수 변환은 상대적으로 긴 구간에 걸친 변화를 반영하게 된다.

스케일링 함수는 전체 신호를 비교적 낮은 해상도로 보존하기 때문에, 시간축에서 넓게 퍼진 저주파 성분을 대변한다고 해석할 수 있다. 결과적으로 모함수와 스케일링 함수를 함께 사용하면, 신호 내에서 빠른 변화를 탐색하면서 동시에 전체적인 저주파 추세도 놓치지 않는 이점이 생긴다.

아래는 다중해상도 구조로 신호를 시간–주파수 평면에 사영했을 때, 저주파 대역과 고주파 대역 간 분배를 간략히 표현한 예시다.

필터뱅크(Filter Bank) 해석과 스케일링 함수

이산 웨이블릿 변환(DWT)에서는 필터뱅크 구조를 통해 모함수와 스케일링 함수를 구현한다. 즉, 스케일링 함수에 대응하는 저주파 필터(일반적으로 Low-pass 필터)와 모함수에 대응하는 고주파 필터(High-pass 필터)를 두어, 신호를 레벨별로 분해(Decomposition)하고 재구성(Reconstruction)한다. 이때 필터 계수 $h[n]$와 $g[n]$는 각각 스케일링 함수와 웨이블릿(모함수)에 대응되는 스케일링 방정식 및 웨이블릿 방정식을 만족하도록 설계된다.

대략적인 필터뱅크 구성을 살펴보면, 입력 신호를 한 번 저주파 필터와 고주파 필터로 각각 통과시킨 뒤 다운샘플링(2배)하게 된다. 그 결과가 스케일링 함수 계수와 웨이블릿 계수가 된다. 다음 레벨로 내려가면서 저주파 계수를 다시 같은 필터뱅크로 통과시키는 과정을 반복해 다중해상도 해석을 수행한다.

필터뱅크 구현 측면에서 스케일링 함수는 저주파 성분을 추출하기 때문에 각 레벨에서 남는 “정보의 뼈대”를 담당한다고 볼 수 있다. 이 정보의 뼈대를 계속 분해해 나가면서 신호의 전역적 특징을 더 잘 파악할 수 있고, 모함수를 통해 세밀한 변동까지 찾을 수 있다.

직교성(Orthonormality)과 스케일링 함수의 역할

웨이블릿 계열이 직교성을 갖는 경우, 신호 분석과 합성 과정에서 계수들이 상호 간섭 없이 독립적으로 존재할 수 있다. 모함수와 스케일링 함수를 포함하는 이산 웨이블릿 변환에서의 직교성은 필터뱅크 계수 $h[n]$와 $g[n]$의 적절한 선택으로 달성된다. 이러한 선택은 스케일링 방정식과 웨이블릿 방정식을 동시에 만족해야 한다.

직교성은 신호를 다중해상도로 분해했을 때 중복이 최소화되고, 노이즈에 강인한 표현을 가능케 한다. 스케일링 함수가 담당하는 저주파 대역에서도 직교성을 만족하려면, 스케일링 함수와 그 시프트된 사본들 간의 내적이 0이거나 1(동일 신호인 경우)이어야 하며, 이는 웨이블릿 변환으로 얻은 계수들이 서로에게 간섭을 일으키지 않도록 해준다. 모함수 역시 동일 조건을 만족하며, 스케일링 함수와 모함수 간에도 교차 항이 사라지도록 해야 한다.

특정 예로 Daubechies 웨이블릿은 모함수와 스케일링 함수 모두가 짧은 지지(support) 범위를 가지면서도 직교 조건을 만족하도록 설계되었다. 스케일링 함수를 기준으로 필터뱅크를 구하면, 모함수에 대응하는 웨이블릿 필터 역시 자동으로 결정된다. 이 과정에서 직교성뿐만 아니라 위상 특성, 다항 근사 특성(몇 차 다항식까지 무왜곡 근사할 수 있는가) 등도 관건이 된다.

스케일링 다항 근사(Polynomial Approximation)와 정규화

스케일링 함수가 만족하는 다항 근사 특성은 웨이블릿 분석에서 매우 중요한 요소다. 예를 들어 정규화된 스케일링 함수 ϕ(t)\phi(t)가 0차~pp차 다항식을 정확히 표현할 수 있다면, 그 웨이블릿 계열은 해당 차수 이하의 다항 신호를 무왜곡으로 분석 및 재구성할 수 있다. 이를 수학적으로 표현하기 위해서는 스케일링 방정식에서의 계수 h[n]h[n]가 정교하게 설정되어야 하며, 모함수와의 직교성 또한 보장되어야 한다.

스케일링 함수가 정규화(Normalization)되어 있다는 것은, 신호 공간에서 단위 에너지를 가지는 기저로서 역할을 수행함을 의미한다. 즉

$$\int_{-\infty}^{\infty} \phi(t) \, dt = 1$$

과 같은 형태의 조건을 만족하도록 설정하는데, 이는 신호 재구성 시에 축척 왜곡이 발생하지 않도록 하기 위함이다. 이 밖에도 스케일링 함수의 다양한 적분 특성과 순간적 변화를 나타내는 모함수의 특성이 유기적으로 결합하여, 웨이블릿 변환이 시공간 특성을 동시에 포착하게 된다.

소멸 모멘트(Vanishing Moments)와 모함수

모함수가 갖는 소멸 모멘트(Vanishing Moments)란, 특정 차수 이하의 다항식에 대해 웨이블릿 함수의 적분값이 $0$이 되는 성질을 말한다. 예를 들어 $p$차 소멸 모멘트를 가지는 웨이블릿 모함수 $\psi(t)$에 대해,

$$\int_{-\infty}^{\infty} t^k \, \psi(t)\, dt = 0, \quad k = 0, 1, \dots, p-1$$

이 성립한다. 이러한 특성은 웨이블릿 변환이 저차 다항 성분(즉, 비교적 완만한 신호 부분)은 거의 잡아내지 않고 급격한 변화나 에지 정보에 더 민감하게 반응함을 의미한다. 다중해상도 해석에서 저주파 성분은 스케일링 함수가 담당하고, 고주파 성분에서의 급변을 포착하기 위해 모함수는 가능한 많은 소멸 모멘트를 갖도록 설계된다.

다항 근사 특성과 소멸 모멘트는 사실상 동전의 양면과도 같아, 스케일링 함수가 $p$차 다항식을 무왜곡으로 표현할 수 있으려면 모함수에 최소 $p$개의 소멸 모멘트가 필요하다. Haar 웨이블릿은 1차 소멸 모멘트를 가지고, Daubechies 계열(DNN)은 $N$개의 소멸 모멘트를 지닌다. 소멸 모멘트가 많을수록 웨이블릿의 지지 폭(함수가 $0$이 아닌 구간)이 넓어지는 경향이 있으며, 시간영역에서의 짧은 국소성을 유지하면서도 다항 근사를 높이려면 정교한 필터 설계가 요구된다.

스케일링 함수와 경계조건(Boundary Conditions)

스케일링 함수와 모함수는 무한 축에서 정의되는 것을 이상적 가정으로 다룬다. 실제 응용에서는 신호가 유한 구간에 국한되므로, 경계 구간에서 발생하는 왜곡을 처리하기 위해 다양한 경계조건을 적용한다. 예를 들어, 신호의 양쪽 끝을 $0$으로 확장(Zero Padding)하거나, 신호를 대칭 복사(Symmetric Extension)하는 방식이 대표적이다.

대칭 복사 방식을 적용하면, 스케일링 함수와 모함수가 유한 구간 경계에서 부족해지는 데이터를 마치 거울처럼 반사해 이어붙인다. 이 방식을 통해 이산 웨이블릿 변환에서 필터가 신호의 경계를 넘어가며 생기는 잘림(Truncation)이나 인공적 지터(Jitter)를 최소화할 수 있다. 저주파 대역 정보를 책임지는 스케일링 함수의 경우, 경계구간의 보완이 더욱 중요하다. 왜곡을 줄이기 위해 필터 계수와 확장 방식이 꼼꼼하게 조정되어야 한다.

완전 재구성(Perfect Reconstruction)과 직교성

스케일링 함수와 모함수는 신호를 분해한 뒤 다시 합성했을 때 손실이 없어야 한다. 이를 완전 재구성(Perfect Reconstruction)이라고 하며, 직교성을 지닌 웨이블릿 계열에서 보통 달성된다. 이때 모함수와 스케일링 함수 사이의 직교성, 그리고 시프트(Shift)된 함수들 간의 직교성이 핵심적으로 작용한다.

이산 웨이블릿 변환을 필터뱅크 구조로 구현할 때, 저주파 필터와 고주파 필터의 특성이 적절히 합치해야 역변환 과정에서 입력 신호를 그대로 복원할 수 있다. 직교 웨이블릿은 이러한 조건을 자연스럽게 충족한다. 비직교 웨이블릿의 경우에도 프레임(Frame) 이론 등 다양한 접근법이 있지만, 더 발전된 주제에 속하므로 여기서는 제외한다.