연속 웨이블릿 변환(CWT)의 개념

정의와 기본 구조

연속 웨이블릿 변환은 신호를 다양한 시간 및 주파수 영역에서 동시적으로 해석하고자 하는 목적으로 고안된 방법이다. 어미 웨이블릿이라 불리는 하나의 기반 함수를 축소와 평행 이동 연산을 통해 변형함으로써, 원 신호가 갖는 특정 스케일(규모)에서의 특징과 위치 정보를 추출한다. 이 방법은 푸리에 변환과 달리 시간축 정보를 보존한 채로 주파수 분석을 수행할 수 있다는 점에서 시간-주파수 해석(time-frequency analysis) 분야에서 핵심적인 역할을 한다.

연속 웨이블릿 변환은 $a$라 불리는 스케일(확장) 변수와 $b$라 불리는 위치(시프트) 변수를 연속적으로 변화시키며 어미 웨이블릿을 변형한다. 스케일 변수 $a$는 웨이블릿 함수를 늘이거나 줄여서 분석 대역폭을 변화시키고, 위치 변수 $b$는 원 신호 상에서 분석 구간을 이동하는 역할을 한다. 이를 통해 신호 전체에 걸쳐 다중 해상도 정보를 얻는다.

연속 웨이블릿 변환의 가장 일반적인 형태는 다음과 같이 정의된다

$$W_\psi x(a, b) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \,\psi^*\!\Bigl(\frac{t - b}{a}\Bigr)\,\frac{dt}{\lvert a\rvert^{1/2}}$$

위 식에서 $x(t)$는 분석 대상 신호이며, $\psi(t)$는 모함수(mother wavelet)이라 부른다. 복소 켤레를 뜻하는 기호 $^*$는 $\psi$가 복소 함숫값을 가질 경우 적용된다. 스케일 변수 $a$의 절댓값에 대한 $1/2$승 항은 에너지를 정상화해주는 역할을 하며, 이로 인해 서로 다른 스케일에서 동일한 에너지 기준으로 비교가 가능해진다.

연속 웨이블릿 변환을 통해 얻어지는 계수 $W_\psi x(a, b)$는 그 스케일 $a$와 위치 $b$에 대응되는 신호 성분의 국소적인 주파수 특성을 나타낸다. $a$가 작을수록 높은 주파수 성분을 분석하는 것이며, $a$가 클수록 낮은 주파수 성분을 분석하는 것이다. 이때 $b$를 변화시킴으로써 신호 전체 영역에 대해 가변 주파수 해석을 수행한다.

모함수의 조건

모함수를 구성하기 위해서는 특정 수학적 제약을 만족해야 한다. 가장 핵심적인 조건은 평균값이 영이 되어야 한다는 점이다. 이를 수식으로 표현하면

$$\int_{-\infty}^{\infty} \psi(t)\,dt = 0$$

이때 $\psi(t)$가 실수함수일 수도, 복소함수일 수도 있지만, 그 어떤 경우라도 위 적분이 영이어야만 주파수 해석 측면에서 유의미한 정보 분해가 가능하다. 또한 $\psi(t)$가 제곱 적분 가능(squared integrable)해야 하므로

$$\int_{-\infty}^{\infty} \lvert \psi(t)\rvert^2 \, dt < \infty$$

를 만족해야 한다. 이러한 조건들을 종합적으로 ‘어미 웨이블릿의 허용성(admissibility)’이라고 부른다. 허용성이 보장되어야만, 연속 웨이블릿 변환을 이용해 얻은 계수들을 바탕으로 원 신호를 손실 없이 재구성할 수 있게 된다.

연속 웨이블릿 변환은 주파수 해석에서 특정 중심 주파수를 강조하는 형태의 모함수가 자주 사용된다. 예를 들어, 모라(Morlet) 웨이블릿은 복소 지수함수에 가우시안 창을 곱한 형태로, 시간-주파수 해석에서 직관적인 이해를 제공한다. 따라서 모라 웨이블릿은 미세 주파수 분석이 필요한 음성 신호처리나 생체 신호 해석에 종종 사용된다. 그 밖에도 멕시칸 햇(Mexican hat), 메이어(Meyer) 등 다양한 형태의 어미 웨이블릿이 존재하며, 각 분야별 특징에 따라 선택된다.

연속 웨이블릿 변환을 수행할 때, 스케일 $a$의 변화는 웨이블릿 함수가 갖는 주파수 대역폭을 조절하는 역할을 담당한다. 예를 들어 $a$가 매우 작으면 웨이블릿 함수는 짧은 시간 구간에 집중되므로 높은 주파수 특성을 찾아내기 용이하다. 반대로 $a$가 크면 신호의 장기적인(저주파) 변동을 해석하기 용이하다. 이러한 특성은 신호가 가지는 다양한 시간 해상도와 주파수 해상도를 동시에 표현함으로써, 복잡하고 비정상적인(non-stationary) 신호 해석에 적합하다.

시간-주파수 해석 관점

연속 웨이블릿 변환은 신호를 시간축과 주파수축 모두에서 동적으로 분석하려는 동기에서 출발한다. 푸리에 변환이 전체 시간 구간에 대해 단일 주파수 해석값을 도출하는 데 반해, 연속 웨이블릿 변환은 특정 시간 구간에서의 주파수 성분을 국소적으로 살펴볼 수 있다. 스케일 $a$의 변화가 사실상 분석 주파수 대역의 변화를 의미하므로, $a$가 작은 영역에서 높은 주파수를, $a$가 큰 영역에서 낮은 주파수를 관찰한다. 이를 시간축에서 일정 간격으로 평행 이동(시프트)해가면서, 신호가 시간에 따라 어떻게 주파수적 특징을 달리하는지를 살핀다.

연속 웨이블릿 변환을 이용해 구한 계수 $W_\psi x(a, b)$는 이차원 공간 $(a, b)$에 정의된다. 이때 $(a, b)$ 공간에서의 계수 값이 곧 신호가 해당 스케일과 시점에서 갖는 에너지(또는 진폭) 정보를 반영한다. 이를 시각화하면 시간축($b$)과 스케일축($a$) 상에서 에너지가 집중되는 지점들을 한눈에 살펴볼 수 있다.

만약 웨이블릿 모함수가 복소 기반이라면, 시간축에 대한 위상(phase) 변화를 해석할 수 있다는 장점도 있다. 예를 들어 복소 모라(Morlet) 웨이블릿은 진폭과 위상 정보를 동시에 관찰함으로써, 신호가 갖는 위상 변동이나 공진 주파수의 변화를 효과적으로 포착한다. 이때, 시간-주파수 해석에 익숙한 연구자는 $\log$ 스케일로 스케일 축을 변환한 후, 이를 ‘의사 주파수(pseudo-frequency)’ 축으로 취급하여 분석하기도 한다.

보다 구체적인 시각화를 원할 경우, 계수 공간 $(a, b)$를 일종의 맵(map)으로 그려서, 계수의 크기를 음영, 컬러, 혹은 3차원 표면 등으로 표현한다. 이렇게 얻은 웨이블릿 스펙트럼(wavelet spectrum)은 신호가 시간이 지남에 따라 어떤 주파수 대역에서 에너지가 두드러지는지, 그리고 어떤 스케일에서 어떠한 변동이 나타나는지를 보여주는 핵심 도구가 된다.

시간 해상도와 주파수 해상도

연속 웨이블릿 변환은 스케일 변수를 통해 시간 해상도와 주파수 해상도를 동시에 조절한다. 스케일이 작아질수록 웨이블릿 함수는 시간축에서 상대적으로 짧은 구간에 집중하게 되므로, 신호의 급격한 변화나 짧은 주기(고주파) 현상을 상세히 포착한다. 반면, 스케일이 커지면 시간 영역에서 긴 구간에 걸쳐 분석이 이루어지므로, 전반적인 저주파 동향이나 장기 추세를 좀 더 정밀하게 확인할 수 있다.

푸리에 변환이 일정한 주파수 해상도를 제공하는 데 비해, 연속 웨이블릿 변환은 주파수 대역에 따라 시간 해상도가 달라지는 국소적 분석 능력을 갖는다. 예를 들어 고주파 영역에서는 매우 세밀한 시간 해상도를 보이고, 저주파 영역에서는 넓은 시간 창을 사용해 에너지를 추적한다. 이로 인해 비정상적인 신호나 주파수가 시간에 따라 급격히 변하는 신호를 다룰 때, 연속 웨이블릿 변환이 적응적이고 효율적인 분석을 제공한다.

연속 웨이블릿 변환에서 스케일과 주파수의 관계는 특정 어미 웨이블릿의 주파수 응답 특성에 따라 달라진다. 가령 모라(Morlet) 웨이블릿의 경우, 스케일 $a$가 곧 (역수 비례 관계 등을 통해) 중심 주파수 대역을 가늠하는 척도가 된다. 어떤 연구자들은 $a$를 직접 스케일로 다루는 대신, 주파수 축으로 옮겨 표현해 분석 결과를 시각화하기도 한다. 이를 통해 신호가 특정 실제 주파수 대역에서 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 더 직관적으로 살펴볼 수 있다.

역변환과 재구성

연속 웨이블릿 변환으로부터 원 신호를 재구성하기 위해서는, 모함수가 허용성(admissibility)을 만족해야 한다. 이를 가정하면, 연속 웨이블릿 변환의 계수들을 적절히 적분하여 원 신호를 복원할 수 있다. 가장 일반적인 형태의 역변환 식은 다음과 같이 쓸 수 있다

$$x(t) = \frac{1}{C_\psi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} W_\psi x(a,b)\,\psi\Bigl(\frac{t-b}{a}\Bigr)\,\frac{db\,da}{a^{2}}$$

이때 $C_\psi$는 어미 웨이블릿의 성질에 따라 달라지는 정규화 상수이며, 다음과 같은 형태로 정의된다

$$C_\psi = \int_{0}^{\infty} \frac{\lvert \hat{\psi}(\omega) \rvert^{2}}{\omega}\, d\omega$$

여기서 $\hat{\psi}(\omega)$는 모함수 $\psi(t)$의 푸리에 변환이다. 이 적분이 유한하게 존재한다면, 즉 $\psi(t)$가 허용성을 만족한다면, 연속 웨이블릿 변환 계수들을 통해 원 신호를 손실 없이 복원할 수 있다.

아래는 연속 웨이블릿 변환과 역변환 과정을 간단히 나타낸 다이어그램이다.

연속 웨이블릿 변환 결과인 계수 $W_\psi x(a,b)$들을 $(a,b)$ 공간에서 적분하는 과정에서, 스케일과 시프트 연산을 모두 역으로 수행한다. 스케일 $a$에 대해 $1/a^2$가 등장하는 이유는, 웨이블릿을 시간축에서 스케일링할 때의 정상화(norm)와 웨이블릿 변환 정의에서의 $|a|^{-1/2}$ 인자가 복합적으로 고려되기 때문이다. 이러한 구조 덕분에, 연속 웨이블릿 변환은 원 신호를 단순히 분해하는 것에 그치지 않고, 완전한 복원까지 가능하게 하는 강력한 도구로 기능한다.