2D 및 3D 이동 변환

2D 이동 변환

2D 이동 변환에서는 일반적으로 점 $(x, y)$을 새로운 위치 $(x', y')$로 이동시키기 위해 이동 벡터 $(t_x, t_y)$를 사용한다. 이동 변환은 다음과 같은 행렬로 표현된다.

점 $(x, y)$와 이동 벡터 $(t_x, t_y)$를 이용하여 이동 변환을 적용하면 다음과 같이 된다:

$$\mathbf{p'} = \mathbf{p} + \mathbf{t}$$

이 식을 행렬 형태로 표현하면:

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix}$$

동차좌표계를 사용하면 이동 변환은 3x3 행렬로 표현될 수 있다. 기본적인 동차좌표계로의 변환은 다음과 같다:

$$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$$

이를 이용한 이동 변환 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

이 식을 통해 점 $\mathbf{P}$에 이동 변환을 적용하면 변환된 점 $\mathbf{P'}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$$\mathbf{P'} = \mathbf{T} \mathbf{P} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{bmatrix}$$

3D 이동 변환

3D 이동 변환에서는 점 $(x, y, z)$을 새로운 위치 $(x', y', z')$로 이동시키기 위해 이동 벡터 $(t_x, t_y, t_z)$를 사용한다. 3D 이동 변환은 다음과 같은 행렬로 표현된다.

점 $(x, y, z)$와 이동 벡터 $(t_x, t_y, t_z)$를 이용하여 이동 변환을 적용하면 다음과 같이 된다:

$$\mathbf{p'} = \mathbf{p} + \mathbf{t}$$

이 식을 행렬 형태로 표현하면:

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \\ t_z \end{bmatrix}$$

동차좌표계를 사용하면 이동 변환은 4x4 행렬로 표현될 수 있다. 기본적인 동차좌표계로의 변환은 다음과 같다:

$$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$$

이를 이용한 이동 변환 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

이 식을 통해 점 $\mathbf{P}$에 이동 변환을 적용하면 변환된 점 $\mathbf{P'}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$$\mathbf{P'} = \mathbf{T} \mathbf{P} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ z + t_z \\ 1 \end{bmatrix}$$