복소수 행렬의 고유값과 고유벡터

고유값 문제의 정의

복소수 행렬의 고유값 문제는 다음과 같이 정의된다. 주어진 복소수 행렬 $\mathbf{A}$에 대해, 고유값 $\lambda$와 고유벡터 $\mathbf{v}$는 다음 식을 만족하는 $\lambda$와 $\mathbf{v}$를 말한다.

$$\mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$$

여기서 $\mathbf{A}$는 복소수 성분을 가진 $n \times n$ 행렬이고, $\mathbf{v}$는 $n$차원 복소수 벡터이며, $\lambda$는 복소수 스칼라 값이다. 고유벡터 $\mathbf{v}$는 영벡터가 아니며, 고유값 $\lambda$는 $\mathbf{A}$와 관련된 스칼라 값이다.

복소수 행렬의 특성 방정식

복소수 행렬 $\mathbf{A}$의 고유값을 구하기 위해서는 다음과 같은 특성 방정식을 이용한다.

$$\det (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$$

여기서 $\det$는 행렬의 행렬식을 의미하고, $\mathbf{I}$는 단위 행렬을 나타낸다. 이 특성 방정식을 풀어 $\lambda$ 값을 구할 수 있으며, 이 값이 고유값이 된다. 고유값 $\lambda$는 복소수일 수 있으며, 그에 따라 고유벡터도 복소수 성분을 가질 수 있다.

복소수 행렬의 예시

복소수 행렬 $\mathbf{A}$가 다음과 같이 주어진다고 가정하자.

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a + ib & b - ia \\ b + ia & a - ib \end{pmatrix}$$

여기서 $a, b$는 실수이고, $i$는 허수 단위이다. 이 행렬에 대해 특성 방정식을 세우면 다음과 같다.

$$\det (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \det \begin{pmatrix} (a + ib) - \lambda & (b - ia) \\ (b + ia) & (a - ib) - \lambda \end{pmatrix} = 0$$

이 행렬식을 계산하면 $\lambda$에 대한 2차 방정식을 얻게 되며, 이를 풀면 $\lambda$ 값이 도출된다.

고유값 계산

위에서 구한 특성 방정식을 풀면 다음과 같은 형태의 2차 방정식을 얻게 된다.

$$\lambda^2 - 2a \lambda + (a^2 + b^2) = 0$$

이 방정식은 표준적인 이차 방정식의 형태를 가지므로, 근의 공식을 사용하여 고유값 $\lambda$를 구할 수 있다. 근의 공식은 다음과 같다.

$$\lambda = \frac{-(-2a) \pm \sqrt{(-2a)^2 - 4(1)(a^2 + b^2)}}{2(1)}$$

이를 정리하면, 고유값 $\lambda$는 다음과 같이 두 개로 나뉜다.

$$\lambda_1 = a + b$$

$$\lambda_2 = a - b$$

따라서 이 복소수 행렬 $\mathbf{A}$의 고유값은 $\lambda_1 = a + b$, $\lambda_2 = a - b$이다.

고유벡터 계산

고유값을 구한 후에는 각 고유값에 해당하는 고유벡터 $\mathbf{v}$를 구해야 한다. 고유값 $\lambda_1$에 대한 고유벡터 $\mathbf{v_1}$는 다음 식을 만족하는 벡터이다.

$$(\mathbf{A} - \lambda_1 \mathbf{I}) \mathbf{v_1} = 0$$

복소수 행렬 $\mathbf{A}$에 대해 $\lambda_1 = a + b$를 대입하면, 다음과 같은 연립 방정식을 얻게 된다.

$$\begin{pmatrix} (a + ib) - (a + b) & (b - ia) \\ (b + ia) & (a - ib) - (a + b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

이 연립 방정식을 풀어 $x_1$, $x_2$ 값을 구하면, 고유벡터 $\mathbf{v_1}$을 구할 수 있다.

고유벡터 계산 (계속)

이제 고유값 $\lambda_1 = a + b$에 대해, 행렬 방정식을 세워서 고유벡터 $\mathbf{v_1}$을 구한다. 먼저 $\mathbf{A} - \lambda_1 \mathbf{I}$을 계산하면,

$$\mathbf{A} - \lambda_1 \mathbf{I} = \begin{pmatrix} (a + ib) - (a + b) & (b - ia) \\ (b + ia) & (a - ib) - (a + b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ib - b & b - ia \\ b + ia & -ib - b \end{pmatrix}$$

따라서 고유벡터 $\mathbf{v_1}$에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다.

$$\begin{pmatrix} ib - b & b - ia \\ b + ia & -ib - b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

이 방정식은 두 개의 연립 방정식으로 나눌 수 있다.

$$(ib - b)x_1 + (b - ia)x_2 = 0$$

$$(b + ia)x_1 + (-ib - b)x_2 = 0$$

이 연립 방정식을 풀어 $x_1$, $x_2$에 대한 관계식을 구하면, 고유벡터 $\mathbf{v_1}$을 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{b - ia}{b} \end{pmatrix}$$

두 번째 고유값에 대한 고유벡터

마찬가지로, 고유값 $\lambda_2 = a - b$에 대해 고유벡터 $\mathbf{v_2}$를 구한다. $\lambda_2$에 대한 행렬 방정식은 다음과 같다.

$$(\mathbf{A} - \lambda_2 \mathbf{I}) \mathbf{v_2} = 0$$

이를 전개하면, $\mathbf{v_2}$에 대한 방정식은 다음과 같다.

$$\begin{pmatrix} (a + ib) - (a - b) & (b - ia) \\ (b + ia) & (a - ib) - (a - b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

이 방정식을 풀어 고유벡터 $\mathbf{v_2}$를 구하면,

$$\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{b + ia}{b} \end{pmatrix}$$

따라서 $\mathbf{A}$의 고유벡터는 $\mathbf{v_1}$과 $\mathbf{v_2}$가 된다.