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i의 성질

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i의 정의

복소수 $z$는 다음과 같이 표현된다:

z=a+biz = a + bi

여기서 $a$와 $b$는 실수이며, $i$는 허수 단위이다. $i$는 다음과 같은 기본적인 성질을 갖는다:

i2=−1i^2 = -1

이는 허수의 핵심적인 정의로, 모든 복소수 연산의 기초가 된다.

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i의 거듭제곱

$i$의 거듭제곱은 주기적인 성질을 보이다. 다음은 $i$의 거듭제곱 결과이다:

i1=ii^1 = i
i2=−1i^2 = -1
i3=−ii^3 = -i
i4=1i^4 = 1

따라서, $i$의 거듭제곱은 4주기성을 가지며, 이는 모든 거듭제곱이 $i, -1, -i, 1$ 중 하나로 표현될 수 있음을 의미한다. 이를 일반화하면 $i^n$은 다음과 같이 주어진다:

in=inmod  4i^n = i^{n \mod 4}

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i의 성질을 이용한 복소수의 곱셈

복소수의 곱셈에서 $i$의 성질은 중요한 역할을 한다. 두 복소수 $z_1 = a_1 + b_1 i$와 $z_2 = a_2 + b_2 i$의 곱을 생각해 봅시다:

z1⋅z2=(a1+b1i)⋅(a2+b2i)z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_2 i)

이를 전개하면:

z1⋅z2=a1a2+a1b2i+b1a2i+b1b2i2z_1 \cdot z_2 = a_1 a_2 + a_1 b_2 i + b_1 a_2 i + b_1 b_2 i^2

여기서 $i^2 = -1$을 적용하면:

z1⋅z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+b1a2)iz_1 \cdot z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2) i

즉, 두 복소수의 곱셈은 다음과 같은 새로운 복소수로 표현된다:

z1⋅z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+b1a2)iz_1 \cdot z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2) i

이 식에서, 실수부는 $a_1 a_2 - b_1 b_2$, 허수부는 $a_1 b_2 + b_1 a_2$로 구성된다.

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i의 성질을 이용한 복소수의 나눗셈

복소수의 나눗셈에서도 $i$의 성질이 활용된다. 두 복소수 $z_1 = a_1 + b_1 i$와 $z_2 = a_2 + b_2 i$의 나눗셈을 수행하기 위해, 복소수 $z_2$의 켤레복소수 $\overline{z_2} = a_2 - b_2 i$를 사용한다.

나눗셈은 다음과 같이 표현된다:

z1z2=a1+b1ia2+b2i\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i}

이때 분모에서 허수를 제거하기 위해 분자와 분모에 $\overline{z_2} = a_2 - b_2 i$를 곱한다:

z1z2=(a1+b1i)(a2−b2i)(a2+b2i)(a2−b2i)\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{(a_2 + b_2 i)(a_2 - b_2 i)}

분모는 다음과 같이 계산된다:

(a2+b2i)(a2−b2i)=a22−(b2i)2=a22−b22(−1)=a22+b22(a_2 + b_2 i)(a_2 - b_2 i) = a_2^2 - (b_2 i)^2 = a_2^2 - b_2^2(-1) = a_2^2 + b_2^2

분자는 다음과 같이 전개된다:

(a1+b1i)(a2−b2i)=a1a2−a1b2i+b1a2i−b1b2i2(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i) = a_1 a_2 - a_1 b_2 i + b_1 a_2 i - b_1 b_2 i^2

$i^2 = -1$을 적용하면:

a1a2−a1b2i+b1a2i+b1b2=(a1a2+b1b2)+(b1a2−a1b2)ia_1 a_2 - a_1 b_2 i + b_1 a_2 i + b_1 b_2 = (a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 - a_1 b_2) i

따라서 나눗셈의 결과는 다음과 같이 정리된다:

z1z2=(a1a2+b1b2)+(b1a2−a1b2)ia22+b22\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 - a_1 b_2) i}{a_2^2 + b_2^2}

이는 실수부와 허수부로 나누어 표현될 수 있다:

z1z2=a1a2+b1b2a22+b22+b1a2−a1b2a22+b22i\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \frac{b_1 a_2 - a_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} i

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복소수의 켤레

복소수 $z = a + b i$의 켤레복소수는 다음과 같이 정의된다:

z‾=a−bi\overline{z} = a - b i

켤레복소수는 복소수의 실수부는 그대로 유지하면서 허수부의 부호를 바꾸는 연산이다. 이 성질은 복소수의 곱셈 및 나눗셈에서 매우 유용하게 쓰이다. 예를 들어, 복소수 $z$와 그 켤레복소수 $\overline{z}$를 곱하면 다음과 같은 실수가 된다:

z⋅z‾=(a+bi)(a−bi)=a2−(bi)2=a2+b2z \cdot \overline{z} = (a + b i)(a - b i) = a^2 - (b i)^2 = a^2 + b^2

즉, 복소수와 그 켤레복소수를 곱한 값은 항상 실수이며, 이는 복소수의 모듈러스 $|z|$의 제곱과 동일한다:

∣z∣2=a2+b2|z|^2 = a^2 + b^2
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