# 사영 기하학의 개념

사영 기하학(射影幾何學, Projective Geometry)은 기하학의 한 분야로, 투영(사영) 관계를 이용하여 기하학적 구조를 설명하는 이론이다. 에피폴라 기하학에서 사영 기하학은 매우 중요한 역할을 하며, 여러 시점에서 본 3차원 객체를 2차원 이미지 평면으로 변환하는 과정을 다룬다. 사영 기하학의 기본 개념은 원근 투영(perspective projection)을 포함하며, 이를 통해 실제 세계의 3차원 객체가 이미지 평면에서 어떻게 표현되는지 설명할 수 있다.

#### 1. 사영 기하학의 기본 개념

사영 기하학에서는 평행선이 무한에서 교차하는 것으로 간주되며, 일반적인 유클리드 기하학과는 달리 무한점(infinite point)을 고려한다. 이로 인해 사영 기하학은 보다 일반적인 기하학적 공간을 제공하며, 특히 카메라 모델링과 다중 뷰 기하학에서 자주 사용된다.

**1.1 사영 공간의 정의**

사영 기하학에서 가장 기본적인 개념은 사영 공간(Projective space)이다. 사영 공간은 차원이 한 개 더 높은 공간에서 직선을 이용하여 정의된다. 예를 들어, 3차원 사영 공간은 4차원 공간에서 정의되는 직선들의 집합으로 볼 수 있다. 이를 수식으로 나타내면, 사영 공간 $\mathbb{P}^n$은 다음과 같이 정의된다.

$$
\mathbb{P}^n = \left( \mathbb{R}^{n+1} \setminus {\mathbf{0}} \right) / \sim
$$

여기서, $\sim$은 스칼라 배(scale factor)에 대한 동치 관계를 의미한다. 즉, $\mathbf{x} \sim \lambda \mathbf{x}$ ($\lambda \neq 0$)인 벡터 $\mathbf{x}$들은 같은 사영 점으로 간주된다.

**1.2 동차 좌표계**

사영 공간에서 점을 표현하기 위해 동차 좌표(homogeneous coordinates)를 사용한다. 동차 좌표는 원래의 유클리드 공간에서 한 차원이 더 높은 공간의 좌표로 표현되며, 이를 통해 무한대에 있는 점들도 표현할 수 있다.

예를 들어, 2차원 유클리드 공간의 점 $\mathbf{x} = (x, y)$는 동차 좌표 $\mathbf{X} = (x, y, 1)$로 표현된다. 일반적으로 $n$-차원 공간에서의 점 $\mathbf{x} = (x\_1, x\_2, \dots, x\_n)$은 동차 좌표 $\mathbf{X} = (x\_1, x\_2, \dots, x\_n, 1)$로 표현되며, 이는 다음과 같다.

$$
\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x\_1 \ x\_2 \ \vdots \ x\_n \ 1 \end{pmatrix}
$$

이때, 동차 좌표 $\mathbf{X} = (x\_1, x\_2, \dots, x\_n, w)$에서 $w = 0$인 경우는 무한대에 있는 점을 나타낸다.

**1.3 사영 변환**

사영 기하학에서 중요한 개념 중 하나는 사영 변환(projective transformation)이다. 이는 사영 공간에서의 점들을 변환하는 방식으로, 유클리드 기하학의 아핀 변환(affine transformation)을 포함하는 보다 일반적인 변환이다. 사영 변환은 행렬 $\mathbf{H}$에 의해 표현되며, 다음과 같은 형태를 가진다.

$$
\mathbf{X}' = \mathbf{H} \mathbf{X}
$$

여기서, $\mathbf{X}$는 동차 좌표로 표현된 점이고, $\mathbf{H}$는 $3 \times 3$ 혹은 $4 \times 4$ 행렬로, 변환 행렬이다. 사영 변환은 다음과 같은 성질을 가진다.

* 직선을 직선으로 변환한다.
* 사영 공간에서의 점과 무한점의 관계를 보존한다.

사영 변환은 이미지 처리 및 컴퓨터 비전에서 매우 유용하며, 특히 다중 뷰 기하학에서 카메라 간의 대응 관계를 설명할 때 사용된다.

**1.4 사영 기하학과 카메라 모델**

사영 기하학은 카메라 모델링에서 핵심적인 역할을 한다. 실제 3차원 세계의 점은 카메라를 통해 2차원 이미지 평면에 사영된다. 카메라 모델은 이 변환을 설명하기 위해 사용되며, 일반적으로 핀홀 카메라 모델(pinhole camera model)이 적용된다.

핀홀 카메라 모델에서는 3차원 공간의 점 $\mathbf{X} = (X, Y, Z)$가 카메라의 중심을 기준으로 한 이미지 평면에 사영되어 2차원 이미지 좌표 $\mathbf{x} = (x, y)$로 변환된다. 이 변환은 동차 좌표계에서 다음과 같이 표현된다.

$$
\mathbf{x} = \mathbf{P} \mathbf{X}
$$

여기서, $\mathbf{P}$는 $3 \times 4$ 카메라 행렬(camera matrix)이며, 이를 통해 3차원 점이 2차원 이미지 평면으로 사영된다. 카메라 행렬 $\mathbf{P}$는 내부 파라미터(intrinsic parameters)와 외부 파라미터(extrinsic parameters)를 모두 포함하며, 이를 통해 카메라의 위치, 방향 및 초점 거리 등을 반영한다.

**1.5 무한점과 무한선**

사영 기하학에서는 무한점(infinity point)과 무한선(line at infinity) 개념이 매우 중요하다. 유클리드 기하학에서 평행한 두 직선은 서로 만나지 않지만, 사영 기하학에서는 이러한 평행한 직선들이 무한대에서 교차하는 것으로 간주된다. 이는 사영 기하학의 중요한 특징 중 하나로, 모든 직선은 서로 교차한다는 성질을 지닌다.

무한선은 사영 공간에서 평행한 직선들이 만나는 장소를 나타내며, 이미지 평면에서는 종종 사라진 지평선(vanishing line)으로 불린다. 무한선은 동차 좌표계에서 $w = 0$인 점들로 표현된다.

**1.6 사영 평면에서의 직선 방정식**

사영 기하학에서는 점 뿐만 아니라 직선도 동차 좌표계에서 표현할 수 있다. 예를 들어, 2차원 사영 평면에서의 직선 방정식은 동차 좌표로 다음과 같이 표현된다.

$$
l\_1 x\_1 + l\_2 x\_2 + l\_3 = 0
$$

여기서, $(x\_1, x\_2, 1)$는 동차 좌표로 표현된 점이고, $(l\_1, l\_2, l\_3)$는 직선의 방정식을 정의하는 계수들이다. 동차 좌표계에서 직선 방정식은 2차원 평면뿐만 아니라 무한대에서도 정의되며, 이는 사영 기하학의 특징을 잘 나타낸다.

**1.7 사영 평면에서의 교차점**

사영 기하학에서는 두 직선이 항상 교차하는데, 그 교차점은 동차 좌표계에서 간단히 구할 수 있다. 두 직선 $\mathbf{l}*1 = (l*{11}, l\_{12}, l\_{13})$와 $\mathbf{l}*2 = (l*{21}, l\_{22}, l\_{23})$의 교차점 $\mathbf{X} = (x\_1, x\_2, x\_3)$는 두 직선의 외적(cross product)으로 계산된다.

$$
\mathbf{X} = \mathbf{l}\_1 \times \mathbf{l}\_2
$$

이 수식은 두 직선의 동차 좌표로 표현된 교차점을 구하는 방법을 제공하며, 사영 기하학의 중요한 도구 중 하나이다. 예를 들어, 만약 두 직선이 평행하다면, 그 교차점은 무한대에 위치하게 되며, 이는 무한점으로 표현된다.

**1.8 사영 변환의 성질**

사영 변환은 다음과 같은 성질을 가진다.

1. **직선 불변성**: 사영 변환은 직선을 다른 직선으로 변환한다. 이는 사영 기하학에서 직선의 성질이 변환 후에도 유지된다는 것을 의미한다.
2. **교차점 불변성**: 두 직선이 사영 변환을 통해 변환되더라도, 그 교차점은 여전히 변환 후의 두 직선이 만나는 곳으로 유지된다.
3. **무한점의 변환**: 무한점도 사영 변환을 통해 유한한 점으로 변환될 수 있으며, 반대로 유한한 점도 무한점으로 변환될 수 있다. 이러한 성질은 카메라의 투영 변환에서 중요한 역할을 한다.

**1.9 사영 기하학의 응용**

사영 기하학은 컴퓨터 비전과 그래픽스 분야에서 널리 사용되며, 특히 카메라 모델링, 이미지 변환, 3D 재구성 등에 매우 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 스테레오 비전 시스템에서 두 카메라 간의 대응 관계를 설명하는 데 사영 기하학이 사용된다. 또한, 이미지 좌표계에서의 직선 및 평면 변환을 다룰 때도 사영 기하학이 적용된다.

동차 좌표를 통해 카메라와 월드 좌표계 간의 변환을 쉽게 표현할 수 있으며, 이를 이용해 다양한 기하학적 연산을 수행할 수 있다. 이러한 성질 덕분에 사영 기하학은 에피폴라 기하학와 같은 다중 뷰 기하학의 기초가 된다.