# 1차 및 2차 시스템의 동특성

### 시스템의 일반적 표현

연속시간 선형시스템은 주로 라플라스 변환을 통하여 전달함수로 표현한다. 일반적인 단입력 단출력(SISO) 시스템에서, 입력을 $u(t)$라 하고 출력(상태)을 $x(t)$라 하며, 초기조건이 0이라고 가정하면 미분방정식을 다음과 같이 표현한다

$$
\mathbf{P}(D) , x(t) = \mathbf{Q}(D) , u(t)
$$

여기서 $D$는 시간에 대한 미분 연산자이며, $\mathbf{P}$와 $\mathbf{Q}$는 다항식 형태로 주어지는 연산자이다. 이를 라플라스 변환하면

$$
\mathbf{P}(s) , X(s) = \mathbf{Q}(s) , U(s)
$$

따라서 시스템의 전달함수 $G(s)$를

$$
G(s) = \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{\mathbf{Q}(s)}{\mathbf{P}(s)}
$$

로 정의할 수 있다. 1차 및 2차 시스템은 $\mathbf{P}(s)$가 각각 1차 혹은 2차 다항식으로 구성된 경우이며, 시간영역에서의 동특성 분석은 주로 단위계단입력(step input)에 대한 과도응답을 기준으로 진행된다.

### 1차 시스템

전형적인 1차 시스템은 다음과 같은 전달함수를 갖는다

$$
G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}
$$

여기서 $\tau$는 시정수(time constant), $K$는 DC 이득(정상상태 이득)이다. 이때, 시간영역에서 단위계단입력 $u(t) = 1(t)$에 대한 출력 $x(t)$(단위계단응답)는

$$
x(t) = K \bigl(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\bigr)
$$

으로 나타난다. 초기조건을 0으로 가정했을 때, $t=0$에서 $x(0) = 0$이고, $t \to \infty$에서 $x(t)$는 $K$에 수렴한다.

여기서 시정수 $\tau$는 시스템이 정상상태 값의 약 63.2%에 도달하는 데 소요되는 시간으로 정의된다. $t = 5\tau$가 되었을 때 응답이 정상상태 값의 99.3%에 도달하므로, 실무적으로는 $5\tau$를 응답이 거의 완료된 시점으로 본다.

응답 특성을 더 자세히 살펴보기 위해 다음과 같은 지표를 정의할 수 있다. 상승시간(rise time)은 출력이 최초로 0에서 최종값의 특정 비율(예: 90%)에 도달하는 데 걸리는 시간, 정착시간(settling time)은 응답이 최종값의 일정 오차 범위(예: ±2% 또는 ±5%) 내로 들어가서 벗어나지 않는 데까지 걸리는 시간이다. 1차 시스템에서는 오버슈트(overshoot)가 존재하지 않으며, 상대적으로 간단한 지표로 응답 특성을 평가할 수 있다.

### 1차 시스템의 예시 미분방정식 표현

물리계에서 예를 들어 전기회로에 R-C 회로가 있고, 출력이 커패시터 전압 $v\_c(t)$라 할 때

$$
R , C ,\frac{dv\_c(t)}{dt} + v\_c(t) = v\_i(t)
$$

로 나타난다. 입력 전압 $v\_i(t)$가 단위계단으로 가정된다면, 이 시스템은

$$
\tau = RC,\quad K = 1
$$

인 1차 전달함수를 갖는다.

아래는 1차 시스템의 단순 블록선도 예시이다.

{% @mermaid/diagram content="flowchart LR
A\["입력 u(t)"] --> B\["1차 시스템<br>G(s) = K / (τ s + 1)"]
B --> C\["출력 x(t)"]" %}

### 2차 시스템

2차 시스템은 전형적으로 다음과 같은 표준형 전달함수로 표현된다

$$
G(s) = \frac{\omega\_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega\_n , s + \omega\_n^2}
$$

여기서 $\omega\_n$은 고유진동수(natural frequency), $\zeta$는 감쇠비(damping ratio)다. 일반적으로 $\zeta$와 $\omega\_n$에 따라 단위계단응답의 형태가 크게 달라진다.

시간영역에서 단위계단입력을 인가했을 때의 응답을 $x(t)$라 하면, 다음과 같은 미분방정식을 만족한다

$$
\frac{d^2 x(t)}{dt^2} + 2 \zeta \omega\_n \frac{dx(t)}{dt} + \omega\_n^2 x(t) = \omega\_n^2 , u(t)
$$

이를 해석하면, $\zeta<1$인 부족감쇠(underdamped) 시스템은 진동성 응답이 나타나며, $\zeta>1$인 과감쇠(overdamped) 시스템은 진동 없이 서서히 수렴한다. $\zeta=1$인 임계감쇠(critically damped) 경우는 진동 없이 가장 빠르게 목표값에 도달하는 응답 특성을 갖는다.

2차 시스템에서 주요 성능 지표는 최대 오버슈트, 상승시간, 정착시간, 감쇠진동수(damped natural frequency) 등이 있다. 부족감쇠 계에서 단위계단응답은 적절한 감쇠비 $\zeta$와 고유진동수 $\omega\_n$에 의해 지배되며, 시간영역 해석에서는 지수함수적 감쇠가 포함된 사인함수(또는 코사인함수) 꼴로 표현된다.

아래는 2차 시스템을 단순화한 블록선도 예시다.

{% @mermaid/diagram content="flowchart LR
A\["입력 u(t)"] --> B\["2차 시스템<br>G(s) = ω\_n^2 / (s^2 + 2ζω\_n s + ω\_n^2)"]
B --> C\["출력 x(t)"]" %}

### 2차 시스템의 부족감쇠 응답 예시

부족감쇠($\zeta < 1$) 상황에서 단위계단을 입력으로 하였을 때 응답의 일반형은

$$
x(t) = 1 - e^{-\zeta \omega\_n t} ,\frac{ \sin{\Bigl(\sqrt{1-\zeta^2},\omega\_n t + \phi\Bigr)} }{ \sqrt{1-\zeta^2} }
$$

형태로 표현된다. 상수항 1은 $t \to \infty$에서 응답이 단위계단에 대해 정상상태에서 1에 도달함을 의미한다. 지수항과 삼각함수에 의해 나타나는 감쇠 진동은 감쇠비가 낮을수록 더 크게 나타난다.

만일 감쇠비가 $\zeta = 0$이면, 응답은 순수 공진계(undamped system)가 되어서 다음과 같은 단순 진동 형태를 띤다

$$
x(t) = 1 - \cos(\omega\_n t)
$$

이 경우, 최대진폭은 2에 달하고 무한히 진동을 지속한다. 실질적으로는 물리계에서 $\zeta$가 0이 되는 일은 거의 없지만, $\zeta$가 매우 작은 값이면 큰 오버슈트를 갖는 진동응답을 보이게 된다.

2차 시스템의 응답 특성을 해석할 때 중요한 지표 중 하나인 최대 오버슈트($M\_p$)는 대략적으로

$$
M\_p \approx e^{-\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}
$$

로 근사화할 수 있고, 이런 식으로 $\zeta$가 작을수록(감쇠가 약할수록) 최대 오버슈트가 커진다는 사실을 알 수 있다.

### 2차 시스템의 감쇠 유형별 응답

2차 시스템의 고유방정식은 $s^2 + 2,\zeta,\omega\_n,s + \omega\_n^2 = 0$ 형태로 주어진다. 이때 특성근의 해는

$$
s = -\zeta,\omega\_n \pm \omega\_n \sqrt{\zeta^2 - 1}
$$

가 된다. 감쇠비 $\zeta$의 크기에 따라 다음 세 가지 경우로 나뉜다.

감쇠비 $\zeta > 1$인 경우는 과감쇠(overdamped)이다. 이때 특성근은 두 개의 서로 다른 음의 실근이 되며, 시간영역 응답은 지수함수 항의 합으로 표현되므로 진동 없이 서서히 수렴한다. 과감쇠가 심할수록 응답이 목표값에 도달하기까지 시간이 오래 걸리며, 오버슈트는 존재하지 않는다.

감쇠비 $\zeta = 1$인 경우는 임계감쇠(critically damped)이다. 이때 특성근은 하나의 음의 실근을 중근으로 갖는다. 이 경우에도 진동 없이 수렴하지만, 과감쇠와 달리 목표값에 도달하는 속도가 최대한 빠른 형태를 보인다. 표준 2차 시스템 해석에서 가장 빠른 비진동 응답을 달성하려면 $\zeta$를 1로 맞춰야 한다는 이론적 결과를 얻을 수 있다.

감쇠비 $\zeta < 1$인 경우는 부족감쇠(underdamped)이다. 이때 특성근은 음의 실부와 고유진동수의 크기를 갖는 허부를 가지므로, 지수함수적 감쇠가 곱해진 사인/코사인 항으로 응답이 표현된다. 진동성 오버슈트가 나타나며, $\zeta$가 작을수록(감쇠가 적을수록) 더 큰 오버슈트와 진동을 보인다.

감쇠비가 0에 가까우면 거의 진동에 가까운(공진 주파수 부근에서 크게 증폭되는) 상태로 움직이므로, 실제 제어계에서는 적절한 감쇠비 확보가 필수적이다. 또한 $\zeta$가 증가하여 1에 가까워질수록 잔진동이 적어지지만 응답 속도(특히 피크시간이나 상승시간)는 다소 느려지는 경향이 있다.

### 2차 시스템의 시간영역 성능지표

2차 시스템의 시간영역 성능지표로는 여러 가지가 있다. 부족감쇠 응답에서의 대표적인 특성 값을 언급해 보면, 상승시간은 출력이 0에서 최종값(단위계단입력에 대한 정상상태가 1로 가정되면 1)에 최초로 도달하는 시간이다. 피크시간은 처음으로 최대응답이 발생하는 시간이다. 최대 오버슈트는 정상상태 값에 대한 상대적 최대값의 초과분을 의미한다. 정착시간은 응답이 정상상태 값의 일정 범위 내(예: ±2% 또는 ±5%)에 들어가서 벗어나지 않는 데 걸리는 시간이다.

이러한 지표들은 대부분 $\zeta$와 $\omega\_n$의 조합으로 표현되며, 설계자는 원하는 응답 특성을 얻기 위해 각종 보상기나 피드백 구조를 활용하여 폐루프 계의 유효한 $\zeta$, $\omega\_n$값을 확보한다. 예를 들어, $\zeta$를 너무 크게 잡으면 오버슈트는 없어지지만 전반적으로 응답이 느려질 수 있다. 반면 $\zeta$가 너무 작으면 과도응답에서 큰 진동이 나타나 시스템 안정성이나 품질에 문제가 발생할 수 있다.

대부분의 실제 제어계 설계에서는 특정 목표감쇠비 $\zeta$와 자연주파수 $\omega\_n$ 근방에서 폐루프 극점의 위치를 결정하여, 빠른 응답과 적절한 감쇠를 동시에 만족시키는 절충점을 찾는 과정을 거친다. 이러한 극점의 위치가 시간영역 응답 지표를 결정하는 핵심이 된다.

### 1차 및 2차 시스템의 임펄스 응답

시스템의 시간영역 해석에서 단위계단(step) 입력만큼이나 중요한 또 다른 기준 입력은 단위임펄스(Dirac delta) 입력이다. 임펄스 입력은 $u(t) = \delta(t)$로 표시되고, 이때 시스템의 출력은 임펄스 응답으로 정의된다. 임펄스 응답은 시간영역 해석에서 시스템의 기본적인 특성을 이해하는 핵심 역할을 한다.

#### 1차 시스템의 임펄스 응답

전달함수가

$$
G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}
$$

인 1차 시스템에 대해 임펄스 입력 $u(t) = \delta(t)$를 가하면, 출력(즉 임펄스 응답) $g(t)$는 라플라스 변환 상에서 다음과 같이 구한다.

먼저 입력 $U(s) = 1$임을 이용해,

$$
Y(s) = G(s) , U(s) = \frac{K}{\tau s + 1}.
$$

이를 역라플라스 변환하면,

$$
g(t) = K , e^{-\frac{t}{\tau}}\quad (t \ge 0)
$$

를 얻는다. 이는 지수적으로 감쇠하는 형태이다. 단위계단응답이 지수적으로 상승하는 형태라면, 임펄스응답은 지수적으로 감소하는 형태가 되는 것이다.

시간상에서 $t=0$ 근방에서 $g(t)$가 가장 큰 값을 가지며, 이후 $\tau$ 시간 상수에 따라 급격하게 감소해 0으로 수렴한다. 이때 $K/\tau$가 초기값으로서 중요한 의미를 갖는다. 실제로 엄밀히는 $\delta(t)$가 이론적 개념상의 임펄스이므로 $t=0$에서의 응답 크기를 직접 정의하기는 어렵지만, 시스템 내부에서 에너지가 순간적으로 입력되어 생성되는 $g(t)$의 초기 경향은 $K/\tau$에 의해 결정된다.

#### 2차 시스템의 임펄스 응답

전형적인 2차 표준형 전달함수

$$
G(s) = \frac{\omega\_n^2}{s^2 + 2,\zeta,\omega\_n,s + \omega\_n^2}
$$

에서, 임펄스 입력 $u(t) = \delta(t)$를 인가하면 출력(임펄스응답) $g(t)$는

$$
Y(s) = G(s) , U(s) = \frac{\omega\_n^2}{s^2 + 2,\zeta,\omega\_n,s + \omega\_n^2}
$$

가 된다. 이를 역라플라스 변환해 시간영역으로 옮기면 감쇠비에 따른 세부 형태가 다르게 나타난다.

감쇠비 $\zeta < 1$인 부족감쇠(underdamped) 상태에서의 임펄스응답은

$$
g(t) = \frac{\omega\_n}{\sqrt{1-\zeta^2}} , e^{-\zeta \omega\_n t},\sin\Bigl(\omega\_n \sqrt{1-\zeta^2},,t\Bigr)\quad (t \ge 0)
$$

형태로, 진동 성분을 지니면서 지수적으로 감쇠한다. 감쇠비가 작을수록 초기에 더 큰 진동 폭을 보이며 이후 서서히 0으로 수렴한다.

감쇠비 $\zeta = 1$인 임계감쇠(critically damped) 상태에서는

$$
g(t) = \omega\_n^2, t , e^{-\omega\_n t}\quad (t \ge 0)
$$

의 형태를 취한다. 진동 없이 지수함수적 항의 곱으로 표현되며, $t=0$부터 급격히 증가했다가 다시 서서히 0으로 수렴한다.

감쇠비 $\zeta > 1$인 과감쇠(overdamped) 상태에서는 두 개의 서로 다른 음의 실근으로 분해되는 지수항의 합으로 표현된다. 예를 들어 특성근이 $s\_1$과 $s\_2$라 하면,

$$
g(t) = \omega\_n^2 ,\biggl(\frac{1}{s\_2 - s\_1}\biggr)\Bigl(e^{s\_1 t} - e^{s\_2 t}\Bigr)\quad (t \ge 0)
$$

의 형태가 되며, 진동 없이 천천히 0으로 감쇠한다.

#### 자연응답과 강제응답의 관점

시스템의 임펄스응답은 입력을 $\delta(t)$로 두었을 때의 $x(t)$, 즉 강제응답(forced response)과 자연응답(natural response)이 동일하게 나타나는 특별한 경우라 할 수 있다. 일반적으로 선형시스템에서 임펄스응답은 그 자체로 중요한 의미를 갖는다. 왜냐하면 합성성(principle of superposition)과 컨볼루션 적분(convolution integral)에 의해, 임의의 입력에 대한 출력이 임펄스응답의 적분(컨볼루션)으로 표현될 수 있기 때문이다.

1차 또는 2차 계에서 임펄스응답을 정확히 구하고, 이를 통해 다른 복합 입력(예: 펄스열, 램프, 사인 등)에 대한 응답을 예측할 수 있다. 제어공학에서는 이런 임펄스응답 분석이 부분적이긴 하지만, 시스템 이해 및 해석의 기초 단계를 제공한다.

### 1차 및 2차 시스템의 램프 입력 응답

단위계단 혹은 임펄스 입력 외에도, 선형시스템 응답을 해석할 때 $u(t) = t$ (단위램프) 입력도 종종 살핀다. 시스템의 정상상태 오차 성능을 평가하는 맥락에서 특히 중요한 기준 입력이 된다.

1차 시스템

$$
G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}
$$

에 대해 $u(t) = t$라 하면, 라플라스 변환에서

$$
U(s) = \frac{1}{s^2}.
$$

이므로

$$
Y(s) = G(s),U(s) = \frac{K}{\tau s + 1} ,\frac{1}{s^2}.
$$

이는 부분분수 분해를 통해 시간영역 해석이 가능하다. 일반적으로 1차 계의 램프 응답은, 정상상태에서 유한한 오차(steady-state error)가 생기며, 이는 시스템 형식(타입)에 따라 달라진다. 1차 시스템은 일명 타입 0 시스템이라고도 하며, 램프 입력에 대해 정상상태에서 일정 편차(오차)를 갖는다.

2차 시스템

$$
G(s) = \frac{\omega\_n^2}{s^2 + 2,\zeta,\omega\_n,s + \omega\_n^2}
$$

에서도 $u(t) = t$라 하면

$$
Y(s) = \frac{\omega\_n^2}{s^2 + 2,\zeta,\omega\_n,s + \omega\_n^2},\frac{1}{s^2}.
$$

이다. 이를 부분분수분해 및 역라플라스 변환하여 응답을 구하면, 감쇠비에 따라 일시적인 과도영역에서의 진동 특성이 달라지는 동시에, 정상상태에서는 램프에 대해 특정 오차가 남음이 확인된다. 2차 오픈루프 시스템은 타입 0 또는 타입 1로 분류될 수 있는데, 피드백 구조가 없다면 보통 램프 입력에 대해 큰 오차가 남는다. (타입 분류: 전달함수 분모에서 $s=0$ 극점의 중복도가 1이면 타입 1, 없으면 타입 0 등등.)

이처럼 단위계단, 단위임펄스, 단위램프 등의 대표 입력에 대한 응답은 시스템의 동특성과 정상상태 특성을 종합적으로 파악할 수 있게 해주며, 고차 시스템으로 확장하더라도 기본적인 해석 틀은 같다.

### 고차 시스템에서의 1차·2차 근사와 지배 극점

현실의 많은 시스템은 3차 이상의 고차(高次) 차수를 갖는 미분방정식으로 표현된다. 그러나 제어계 설계 과정에서, 시스템의 극점(pole) 중 일부가 다른 극점보다 훨씬 빠르거나 혹은 아주 느린 경우가 존재하면, 그 느리거나 빠른 극점들이 시스템의 과도응답에 거의 영향을 주지 않는 상황이 발생한다. 이때 특정 두 개의 극점(또는 하나의 극점)이 시스템의 전체 응답에서 지배적인(dominant) 역할을 수행할 수 있어, 고차 시스템임에도 불구하고 실제 응답 특성이 1차 또는 2차 시스템과 유사하게 나타난다.

예컨대, 고차 전달함수

$$
G(s) = \frac{N(s)}{(s + a\_1)(s + a\_2)(s + a\_3)\dots(s + a\_n)}
$$

가 있을 때, 극점 $-a\_1, -a\_2, \dots, -a\_n$ 가운데 $-a\_1$과 $-a\_2$가 나머지 극점보다 상대적으로 원점에 가깝다면(실수부가 매우 작다면), 이 두 극점이 과도응답을 주도한다. 나머지 극점들은 실수부가 매우 크거나 매우 음수 방향으로 떨어져 있어서 응답에 빠르게 소멸되는 지엽적 영향만 끼친다. 이때, 실제 시간영역에서의 동특성은 주로 $(s+a\_1)(s+a\_2)$로 구성된 2차 부분에 의해 결정된다.

시스템 설계 과정에서 흔히 “지배 극점(dominant pole)”이라는 용어가 사용된다. 지배 극점은 시간영역의 과도응답에서 우세한(가장 오래 남는) 모드(modal response)를 형성하는 극점들을 의미한다. 결국, 전체 계가 고차라 할지라도 과도영역 분석 및 설계를 1차 혹은 2차 시스템 근사로 간단히 진행할 수 있는 이론적·실용적 근거가 된다.

### 극점-영(零, zero) 배치와 2차 근사

고차 계에서 출력에 큰 영향을 미치는 영점(zero)이 존재하는 경우도 있다. 예를 들어 전형적인 2차 계 형태에 한 개의 영점이 추가로 붙는 상황을 생각할 수 있다. 전달함수가

$$
G(s) = \frac{(s + z\_0)\omega\_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega\_n,s + \omega\_n^2}
$$

와 같은 꼴일 때, 영점 $-z\_0$이 충분히 원점에서 멀리 떨어져 있다면, 이 영점의 영향은 고주파영역에서나 소멸하는 작은 과도항으로 작용하여 주된 응답 특성은 여전히 2차 형태를 유지한다. 반대로 $-z\_0$가 원점 부근에 있으면, 시스템 과도응답에서 영점 특성이 뚜렷하게 드러나 2차 표준형과는 사뭇 다른 형태를 보일 수 있다.

고차 시스템에서도 이러한 극점과 영점들이 서로 결합하여, 1차 또는 2차 동특성을 잘 드러내지 못하게 만들 수 있다. 그러나 다수의 실제 시스템에서는 극점 중 일부가 매우 빠르게 응답이 소멸해버리거나(실수부가 매우 큰 음수) 혹은 영점도 마찬가지로 멀리 떨어져 있어, 결과적으로 1차 또는 2차 계와 유사한 응답이 관측되는 경우가 잦다. 이 사실이 설계 단계에서 시스템 차수를 낮춰 근사하는 기법을 정당화하며, 이를 통해 해석과 설계를 단순화한다.

### s-평면에서의 극점 위치와 시간영역 성능

1차·2차 시스템의 극점을 s-평면에서 시각적으로 해석하면, 극점이 왼쪽 반평면(LHP)에 존재할 때 시스템이 안정하다는 개념을 더 직관적으로 파악할 수 있다. 2차 계에서 극점이 복소공액쌍 형태로 분포되어 있다면, 그 복소뿌리의 실수부가 감쇠정도(감쇠비)와 관련되고, 허수부가 진동의 기본 주파수(고유진동수)와 관련된다.

감쇠비 $\zeta$와 고유진동수 $\omega\_n$ 관계를 s-평면 상에서 표현하면, 원점에서 반지름 $\omega\_n$의 반원 위 혹은 그 안쪽에서, 실수축에 대해 기울기가 $\zeta$에 의해 결정되는 형태로 극점이 놓이게 된다. 이를 극점 배치(pole placement), 근궤적(root locus) 등으로 해석하며, 감쇠비와 자연주파수를 동시에 조정함으로써 원하는 과도응답 특성을 얻을 수 있다.

실무에서는 오버슈트, 상승시간, 정착시간 등으로 설계 스펙을 명시하고, 이를 만족하는 극점 배치를 여러 기법(예: 루프 보상기 설계, 근궤적 기법, Bode 설계 등)을 통해 구현한다. 2차 근사로 해석하면 설계자의 직관적 판단이 쉬워지므로, 공정 제어나 서보제어 등 다양한 분야에서 널리 활용된다.

### 응용 예시: 질량-스프링-댐퍼계

1차 및 2차 시스템의 물리적 예시로, 질량-스프링-댐퍼(단자유도 진동계) 시스템을 들 수 있다. 질량 $m$, 감쇠계수 $b$, 스프링상수 $k$로 구성된 단순 모델에서, 외력이 $u(t)$로 작용한다면 운동방정식은

$$
m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + b \frac{dx(t)}{dt} + k, x(t) = u(t)
$$

이 된다. 여기서

$$
\omega\_n = \sqrt{\frac{k}{m}},\quad \zeta = \frac{b}{2\sqrt{mk}}
$$

로 정의할 수 있다. 이 계는 표준 2차 시스템 형식으로 표현되며, $\zeta$ 값에 따라 부족감쇠, 임계감쇠, 과감쇠 특성을 그대로 보인다.

감쇠계수 $b$가 작은 경우, 즉 $\zeta<1$이라면 현저한 진동을 보이고, 질량 $m$이 커질수록 응답 주파수 $\omega\_n$는 낮아져 느린 동특성을 나타낸다. 실제 기계 시스템에서는 더 높은 차수의 요소(마찰, 탄성체의 비선형성 등)도 존재하겠지만, 저차 모델을 통해 시스템의 거동을 일차적으로 파악하는 것이 설계와 해석에서 매우 중요하다.

### 고차 시스템에서의 분해해석과 모드 결합

실제 물리계 혹은 공학계에서 등장하는 시스템은 다중 자유도(multi-degree of freedom)를 가질 가능성이 크다. 예를 들어 로봇 관절의 다관절 기구, 복잡한 전기회로, 대규모 프로세스 플랜트 등은 대부분 고차(3차 이상) 차수를 갖는다.

이러한 고차 계를 해석할 때는 일반화 좌표(generalized coordinate)나 상태공간(state-space) 표현을 통해, 모든 자유도를 미분방정식이나 행렬 방정식으로 나타낼 수 있다.

상태공간으로 표현하면

$$
\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt} = \mathbf{A},\mathbf{x}(t) + \mathbf{B},\mathbf{u}(t),\quad \mathbf{y}(t) = \mathbf{C},\mathbf{x}(t) + \mathbf{D},\mathbf{u}(t)
$$

의 꼴이 된다. 여기서 행렬 $\mathbf{A}$의 고유값(eigenvalue)은 시스템의 극점(pole)에 해당한다. 고차 계라 할지라도 $\mathbf{A}$ 행렬을 고유분해(eigendecomposition) 혹은 대각화(diagonalization)할 수 있으면,

$$
\mathbf{A} = \mathbf{V} , \boldsymbol{\Lambda} , \mathbf{V}^{-1}
$$

와 같이 나타낼 수 있고, $\boldsymbol{\Lambda}$는 $\mathbf{A}$의 고유값을 대각 성분으로 포함한다. 그러면 해석이 $\boldsymbol{\Lambda}$ 각각에 대응하는 1차 또는 복소2차 형태의 모드(mode)로 분해될 수 있다.

이때 대부분의 시스템에서 일부 모드(극점)는 실수부가 매우 크거나(또는 매우 음수 방향이거나) 복소크기가 큰 반면, 또 다른 모드들은 상대적으로 작아 시스템 전체 응답에서 장기 과도응답을 지배하게 된다. 이는 “지배 모드(dominant mode) 선택”이라는 관점으로 연결되고, 결과적으로 1차·2차 근사로 응답을 추정해도 충분한 정확도를 얻을 수 있다는 이론적 근거가 마련된다.

### 시간영역 성능 사양과 1차·2차 계

시간영역 성능 사양은 대개 상승시간, 피크시간, 최대 오버슈트, 정착시간 등으로 구성된다. 실제 제어기 설계나 시스템 동특성 평가 시, 1차·2차 시스템의 공식들이 주로 사용된다.

고차 시스템이더라도 지배 극점만 남겨 1차·2차 근사로 분석하면, 설계자는 다음과 같은 방식으로 빠르게 판단할 수 있다.

오버슈트나 진동이 문제가 되지 않는 상황이라면 1차 근사로 접근해, 시정수 $\tau$와 DC 이득 $K$를 보고 응답 속도를 파악한다.

오버슈트, 진동, 감쇠비 등의 이슈가 중요하다면 2차 근사로 접근해, $\omega\_n$와 $\zeta$를 구해 적절한 범위 안에 위치시키도록 한다.

구체적인 설계 단계에서 루프 전이함수(loop transfer function)를 1차·2차로 근사한 뒤, 근궤적(root locus)이나 보드선도(Bode plot)로 극점 이동을 예측하고, 보상기(제어기)를 추가하여 원하는 감쇠비와 자연주파수를 얻도록 한다.

### 시간응답과 주파수응답의 상호 보완

1차·2차 시스템의 동특성은 시간영역뿐 아니라 주파수응답 관점에서도 단순하게 해석된다.

1차 계 $G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}$를 푸리에 변환(또는 보드선도)하면, 주파수 $\omega$가 낮을 때는 크기 $K$ 근방의 평탄한 응답을 보이고, ω→∞\omega \to \infty에서 $|G(j\omega)|$는 $\frac{K}{\tau \omega}$의 형태로 20 dB/dec 기울기로 감소한다.

2차 계 $G(s) = \frac{\omega\_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega\_n s + \omega\_n^2}$에서는, 부족감쇠일 때 공진주파수(resonant frequency) 근방에서 이득이 크게 치솟는다. 이 주파수가 $\sqrt{1-2\zeta^2},\omega\_n$ 근방(단, $\zeta < 1/\sqrt{2}$)에서 나타난다.

이는 시간영역에서 감쇠비가 작으면 진동이 크고, 주파수영역에서도 공진봉우리가 크다는 사실과 일맥상통한다. 제어설계자는 이런 이중 관점을 활용해, 시간영역 사양(오버슈트, 정착시간 등)과 주파수영역 사양(대역폭, 공진피크 등)을 맞추어 간단하고 직관적인 설계를 시도한다.

### 감소율과 로깅데크(Logarithmic Decrement)

2차 부족감쇠 계의 진동응답에서는, 진동의 피크들이 지수적으로 감소해 나가는 패턴을 보인다. 인접한 두 피크의 진폭 비로부터 감쇠비를 측정하는 기법을 로깅데크(logarithmic decrement)라고 부른다.

연속 시간에서 부족감쇠 응답 $x(t)$가 피크를 이루는 시점들을 $t\_n, t\_{n+1}$이라 할 때, 피크 크기를 $x(t\_n) = X\_n$, $x(t\_{n+1}) = X\_{n+1}$라 하면,

$$
\delta \equiv \ln\Bigl(\frac{X\_n}{X\_{n+1}}\Bigr) = 2\pi \zeta ,\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}
$$

의 관계식이 성립한다. 이를 실험적·수치적으로 측정하면 감쇠비 $\zeta$를 직접 추정할 수 있다. 이와 같은 분석 기법은 물리 실험이나 테스트에서 진동 데이터를 얻은 뒤, 시스템이 대략 어떤 2차 계 특성을 보이는지 판정하는 데 활용된다.

### 부분분수 분해를 통한 직접 해석

1차·2차 시스템은 주파수영역에서의 전달함수를

$$
G(s) = \frac{N(s)}{D(s)}
$$

로 두었을 때, $D(s)$가 차수 1 또는 2의 다항식이다. 이 경우 역라플라스 변환이 상대적으로 단순하며, 수작업으로도 시간영역 응답을 구할 수 있다.

예컨대 2차 계에서 $D(s) = s^2 + 2\zeta\omega\_n s + \omega\_n^2$를 갖고, $N(s)$가 다항식일 때, 부분분수 분해와 표준 라플라스 변환표를 이용하면 단위계단, 임펄스, 램프, 사인 등의 입력에 대한 해석을 간단히 할 수 있다.

고차 계에서는 이 작업이 복잡해져, 실제 문제에서는 대부분 심볼릭 툴이나 상태공간 해석을 사용하거나, 지배 극점 근사로 2차 이하 문제로 축소한다.

### 극점-영점 배치 관점에서의 피드백 효과

제어이론에서 폐루프 시스템을 해석할 때는, 오픈루프 전달함수 $G(s)$에 대해 피드백을 구성한 폐루프 전달함수

$$
T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}
$$

를 살핀다. 여기서 $H(s)$는 피드백 경로의 전달함수다. 폐루프 극점은

$$
1 + G(s)H(s) = 0
$$

를 만족하는 $s$ 값들이며, 이 극점들이 시간영역 응답 특성을 결정한다.

만약 $G(s)$가 1차·2차 형태라면, 폐루프 극점들도 (적절한 $H(s)$에 따라) 1차·2차 근사 형태를 유지하거나, 혹은 추가 극점·영점이 발생할 수 있다. 제어기 설계자는 오버슈트와 감쇠비를 만족하려면 극점 위치가 어떻게 움직여야 하는지(근궤적 기법 등)를 분석하고, 그에 맞춰 $H(s)$를 조정한다.

이런 방식으로 1차·2차 계의 시간영역 특성 식들이, 실제 피드백 시스템 설계 시에도 유용한 준거 역할을 하게 된다.

### 단순 모델과 고급 모델의 상호 보완

설계 초기 단계에서는 1차·2차 근사 모델이 충분히 유용하다. 그러나 최종 구현 직전에는 높은 정밀도가 요구되므로, 고차 혹은 비선형 요소들까지 모두 반영한 “고급 모델(full-order model)”을 시뮬레이션하여 실제 응답을 확인해야 한다.

시뮬레이션 결과가 지나치게 1차·2차 해석과 어긋난다면, 누락된 빠른 극점이나 높은 차수 모드가 실질적으로 영향을 주고 있음이 의심되므로, 모델링 수정 또는 추가 보상이 필요하다.

결국 1차·2차 시스템 동특성의 이론적 성과는 복잡한 시스템을 요약·근사하는 데 매우 강력한 도구로 작동하지만, 반드시 검증 과정을 거쳐야 한다.

### 실험적 식별과 동특성 추정

현장에서의 시스템 식별(system identification)은 1차·2차 또는 더 높은 차수의 모델을 추정해 내는 과정이다. 이미 언급했듯, 로깅데크(logarithmic decrement), 응답 곡선의 오버슈트와 진동 주기, 정착시간 등의 지표를 측정함으로써 2차 근사 모델의 $\zeta$, $\omega\_n$를 계산할 수 있다.

1차 근사 모델의 경우엔 응답곡선이 지수적으로 상승 또는 감쇠하는 형태인지 살펴보고, 시정수 $\tau$와 최종 이득 $K$를 추정할 수 있다.

실험적으로는 단위계단이나 임펄스 입력을 가하기 어렵거나 위험한 경우가 많으므로, 작은 범위의 신호(예: 소규모 펄스, 진동신호)를 사용한 뒤, 그 응답 데이터를 통해 파라미터를 피팅(fitting)하는 기법을 쓰기도 한다. 이러한 실험적·수치적 방법으로 얻어지는 간단 모델은 반드시 실제계와 비교·검증되어야 하며, 온도·부하·재료상태 등 다양한 조건에서 모델이 유지되는지 확인해야 한다.

### 1차·2차 시스템 해석 요약

1차 시스템:

$$
G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}
$$

단위계단응답은 $K \bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr)$로 표현되며, 오버슈트 없이 지수적으로 정상상태($K$)에 도달한다. 임펄스응답은 $K,e^{-t/\tau}$ 형태이며, 시정수 $\tau$가 응답 속도를 결정한다.

2차 시스템(표준형):

$$
G(s) = \frac{\omega\_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega\_n,s + \omega\_n^2}
$$

감쇠비 $\zeta$에 따라 부족감쇠(진동), 임계감쇠, 과감쇠가 결정된다. 단위계단응답에서 부족감쇠 시 최대 오버슈트가 발생하며, $\zeta$가 작으면 큰 오버슈트와 긴 잔진동이 나타난다. 임펄스응답 또한 $\zeta < 1$이면 사인형 감쇠 진동, $\zeta = 1$이면 임계감쇠, $\zeta > 1$이면 과감쇠 지수합 형태로 표현된다.

### 본 장 정리

1차·2차 시스템은 시간영역 해석에서 기본이 되는 모델이다. 단위계단·임펄스·램프 등 표준 입력에 대한 응답공식이 명료하며, 감쇠비와 고유진동수, 시정수와 같은 핵심 파라미터로 빠르게 동특성을 가늠할 수 있다.

고차 시스템이라 할지라도 지배극점만 보면 1차·2차 근사가 가능하고, 실제 제어계 설계나 해석에서도 1차·2차 모델이 직관적 도구로 활용된다.

이후 챕터에서는 이러한 1·2차 시스템을 기반으로 더 복잡한 시스템 해석, 주파수응답 기법, 안정도 및 성능평가 지표 등을 확장하여 다룰 것이다.