# 주파수 영역 전개를 위한 기초

#### 복소수와 오일러 공식

주파수 영역 전개를 이해하기 위해서는 먼저 복소수와 오일러 공식에 대한 기초 지식이 필수적이다. 복소수 $z$는 실수부와 허수부를 갖는 수로서 다음과 같이 표현한다.

$$
z = x + j y
$$

여기서 $x$는 실수부, $y$는 허수부이며 $j$는 $j^2 = -1$을 만족하는 허수 단위이다. 복소수는 극좌표 형태로도 나타낼 수 있는데, 복소수의 크기를 $r$이라 하고 복소수의 편각을 $\theta$라 하면

$$
z = r(\cos\theta + j \sin\theta)
$$

로 쓸 수 있다. 이를 지수 형태로 표현하면 오일러 공식 $e^{j\theta} = \cos\theta + j \sin\theta$에 의해

$$
z = r e^{j\theta}
$$

가 된다. 복소수를 활용하면 시간영역에서의 사인파나 코사인파를 단순한 지수함수로 표현할 수 있으며, 이는 주파수 영역 해석에서 매우 중요한 역할을 한다.

#### 복소 지수로 나타낸 정현파

시간영역에서 $A\cos(\omega t + \phi)$처럼 위상이 있는 정현파는 복소 지수 형태를 쓰면

$$
A e^{j(\omega t + \phi)} = A e^{j\omega t} e^{j\phi}
$$

로 표현할 수 있다. 이때 $A e^{j\phi}$는 정현파의 초기 위상과 진폭을 결정하는 복소 상수로 해석된다. 실제 물리량으로는 실수부만을 취해

$$
\Re{A e^{j\omega t} e^{j\phi}} = A \cos(\omega t + \phi)
$$

의 형태가 된다. 이와 같은 복소수 표현은 선형 시스템 해석에서 입력과 출력을 비교할 때 편리하며, 임의의 선형 연산이 정현파 입력에 어떠한 위상과 진폭 변화를 주는지 직접적으로 확인할 수 있게 해준다.

#### 선형시스템의 주파수 응답

선형시스템에 사인파 입력이 가해지면, 출력 역시 동일한 주파수 성분의 사인파 형태를 띠면서 진폭과 위상만 달라진다. 이를 전제하면, 임의의 시간영역에서의 시스템 해석보다는 사인파 입력에 대한 비례관계를 구하는 것이 훨씬 간단해진다. 시스템 $G(\cdot)$에 대해 복소 지수 형태의 입력 $X e^{j\omega t}$가 들어갔을 때, 출력이

$$
Y(\omega) e^{j(\omega t + \theta(\omega))}
$$

와 같이 된다고 가정하면, 시스템의 전달함수를 복소 주파수 $\omega$에 대해서

$$
G(j\omega) = \frac{Y(\omega)}{X} e^{j\theta(\omega)}
$$

로 표현할 수 있다. 다시 말해, 선형시스템에 대해 주파수 영역에서의 전달 특성 $G(j\omega)$는 임의의 사인파 입력에 대해 시스템이 얼마만큼 진폭 이득을 주고 위상을 지연(또는 앞서게) 시키는지를 나타낸다.

#### 주파수 영역 해석의 장점

시스템이 시간영역에서의 복잡한 미분방정식으로 나타나더라도, 주파수 영역에서는 간단한 대수적 연산으로 표현되는 경우가 많다. 예를 들어, 1차 시스템 $G(s) = \frac{1}{s + a}$는 라플라스 변수를 $s = j\omega$로 치환하여

$$
G(j\omega) = \frac{1}{j\omega + a}
$$

로 나타낼 수 있다. 이는 시스템이 주어진 주파수 $\omega$에 대해 얼마나 큰 이득을 갖고, 어떤 위상을 만들어 내는지를 명시적으로 보여준다. 주파수 해석 기법을 사용하면 다음과 같은 이점들이 얻어진다.

시간영역 신호 간의 복잡한 합성과 미분, 적분을 모두 간단한 복소수의 곱셈, 나눗셈, 지수 연산 등으로 변환해 볼 수 있다.

잡음이나 외란과 같은 불필요한 주파수 성분의 영향력을 명시적으로 확인할 수 있으며, 필요에 따라 필터링이나 보상기를 손쉽게 설계할 수 있다.

선형제어 이론에서 주파수 응답에 기반한 안정도와 성능 해석 툴(예: 보드 선도, 니콜스 선도, 나이퀴스트 선도 등)을 효과적으로 활용할 수 있다.

#### 미분 방정식에서의 주파수 해석

시간영역에서 시스템을 설명하는 미분 방정식이 있다면, 이를 라플라스 변환이나 푸리에 변환 기법을 통해 주파수 영역으로 직관적으로 옮길 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 2차 미분 방정식을 생각해 볼 수 있다.

$$
\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 2\zeta\omega\_n \frac{dy(t)}{dt} + \omega\_n^2 y(t) = x(t)
$$

이 식을 라플라스 변환하여 $Y(s)$와 $X(s)$로 표현하면

$$
(s^2 + 2\zeta \omega\_n s + \omega\_n^2)Y(s) = X(s)
$$

로 바뀐다. 따라서 시스템의 전달함수는

$$
G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s^2 + 2\zeta \omega\_n s + \omega\_n^2}
$$

가 되며, 주파수 영역에서 $s=j\omega$를 대입하면

$$
G(j\omega) = \frac{1}{- \omega^2 + j(2 \zeta \omega\_n \omega) + \omega\_n^2}
$$

로 시스템의 주파수응답 특성을 확인할 수 있다.

#### mermaid를 이용한 주파수 해석 개념 구조

{% @mermaid/diagram content="flowchart TB
A\[시간영역 미분방정식] --> B\[라플라스 변환 또는 푸리에 변환]
B --> C\["주파수영역 표현 G(jω)"]
C --> D\["진폭 이득 | 위상 변이"]
D --> E\[보드, 나이퀴스트, 니콜스 선도]
E --> F\[시스템 안정도 해석 및 보상 설계]" %}

주어진 흐름도처럼 시간영역에서의 복잡한 미분 방정식은 변환 과정을 거쳐 간단한 주파수영역 표현으로 바뀐다. 이를 통해 시스템의 특성을 간편하면서도 강력하게 해석할 수 있으며, 무엇보다 제어기 설계나 안정도 판별, 응답 특성 등의 핵심 절차가 명확해진다.

#### 주파수 스펙트럼과 신호의 합성

푸리에 해석에서 임의의 신호도 여러 개의 정현파(또는 복소 지수)로 합성될 수 있음을 배운다. 예를 들어, 어떤 주기신호 $x(t)$가 다음과 같은 푸리에 급수로 전개된다고 하자.

$$
x(t) = \sum\_{k=-\infty}^{\infty} X\_k e^{j k \omega\_0 t}
$$

이 식에서 $X\_k$는 주파수 영역에서의 복소 계수이며, $\omega\_0$는 기본 주파수이다. 시스템을 선형이라 가정하면, 각 주파수 성분에 대한 출력도 개별적으로 계산된 뒤, 선형성에 의해 그 합이 최종 출력이 된다. 즉,

$$
y(t) = \sum\_{k=-\infty}^{\infty} G(j k \omega\_0) X\_k e^{j k \omega\_0 t}
$$

로 주파수별 전달 특성을 반영하여 전체 응답을 구성할 수 있다. 이와 같은 방식으로 특정 주파수 대역에서 시스템이 어떠한 거동을 하는지를 미리 예상할 수 있으며, 불필요하거나 과도한 응답을 보이게 만드는 주파수 성분을 제어하거나 필터링하는 것도 가능하다.

#### 실수 신호와 쌍대성

물리적으로 우리가 측정하는 신호는 대부분 실수 신호이므로, 푸리에 변환이나 라플라스 변환을 할 때 주파수 축에서 양의 주파수와 음의 주파수가 서로 대칭적인 형태를 갖게 된다. 시간영역의 실수 신호 $x(t)$가

$$
X(\omega) = \mathcal{F}{x(t)}
$$

라 하면,

$$
X(-\omega) = X^\*(\omega)
$$

가 성립하여 스펙트럼이 공액대칭을 이룬다. 여기서 $(\cdot)^\*$는 복소켤레 연산을 의미한다. 따라서 실수 신호의 경우 주파수 분석에서 음의 주파수 영역은 양의 주파수 영역의 켤레와 동일하다는 사실로 인해, 흔히 양의 주파수 영역만을 해석하여도 전체 거동을 충분히 유추할 수 있게 된다.

#### 인과성과 안정성

주파수 해석에서 중요한 개념 가운데 하나가 인과성과 안정성이다. 시간영역에서 $h(t)$로 표현되는 어떤 시스템의 임펄스 응답이 $t < 0$에서 0인 경우를 인과적이라고 한다. 이를 라플라스 변환에서 확인하려면 $h(t)$가 $t < 0$에서 0이므로

$$
H(s) = \mathcal{L}{h(t)}
$$

에서 통상 $s$평면의 우반부 혹은 특정 영역에서만 해석이 유효하다. 이러한 인과적 특성은 실제 물리적 시스템이 미래의 입력에 반응하지 않는다는 사실과 부합한다. 한편, 안정성이란 입력이 유한할 때 출력이 유한한가를 보는 개념이며, 이는 라플라스 변환에서 $s$평면의 특정 영역에서 $H(s)$가 유한한 값을 갖는가, 또는 $\Re{s} > a$ 등으로 표현되는 영영(영역)에 대해 극점이 존재하지 않는가 등으로 해석된다. 이러한 이론적 토대는 $s=j\omega$ 축 근방에서의 시스템 해석 시, 주파수 응답을 안정적으로 정의하는 근거가 된다.

#### 컨볼루션 정리와 주파수 해석

시간영역에서 두 신호의 합성 과정을 살펴보면, 일반적으로 컨볼루션(합성곱)이라는 연산이 등장한다. 예를 들어, 두 시간영역 신호 $x(t)$와 $h(t)$가 있을 때, 이들이 합성곱으로 표현되는 출력 신호 $y(t)$는

$$
y(t) = (x \* h)(t) = \int\_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau), d\tau
$$

로 정의된다. 컨볼루션은 선형 시불변 시스템의 입출력 관계에서 핵심이 되며, 주파수 영역으로 옮겨 해석할 때는 곱셈이라는 형태로 단순화된다. 즉, 다음의 컨볼루션 정리가 성립한다.

$$
\mathcal{F}{x(t) \* h(t)} = X(\omega) \cdot H(\omega)
$$

여기서 $X(\omega)$와 $H(\omega)$는 각각 $x(t)$와 $h(t)$의 푸리에 변환이다. 라플라스 변환으로 옮겨도 동일한 개념이 적용되어

$$
\mathcal{L}{x(t) \* h(t)} = X(s) \cdot H(s)
$$

이 성립한다. 이러한 정리는 시간영역에서 복잡하게 보이는 합성곱 연산이, 주파수 영역에서는 단순한 곱으로 대응된다는 점을 보여준다. 이 때문에 시스템 해석과 설계에서 주파수 영역 접근법이 강력해진다.

#### 시간 지연과 위상 변화

선형 시스템에서 시간 지연 요소는 주파수 영역에서 순수한 위상 지연으로 표현된다. 예를 들어, 입력 신호 $x(t)$를 $\tau$만큼 지연시킨 신호 $x(t-\tau)$의 푸리에 변환은

$$
\mathcal{F}{x(t-\tau)} = e^{-j \omega \tau} X(\omega)
$$

가 되며, 이는 크기는 1, 위상은 $-\omega \tau$만큼 변화를 주는 복소 지수 항이 곱해진 형태다. 즉, 시간 지연은 주파수 해석에서 크기는 그대로 두고 위상만 특정 주파수에 비례하여 지연시키는 효과를 갖는다. 제어 시스템에서 이러한 시간 지연 요소는 안정도에 큰 영향을 주며, 특히 고주파수 구간에서 위상을 과도하게 지연시켜 폐루프 안정 영역을 위협하기도 한다.

#### 필터의 주파수 응답과 차수

시스템이라는 것이 반드시 어떤 기계나 전자회로에만 국한되지 않는다. 예를 들어, 필터(filter)는 특정 주파수 대역의 신호만 통과 혹은 감쇠시키는 기능을 수행하는 대표적인 선형시스템이다.

저역 통과 필터(LPF)는 낮은 주파수 대역은 통과시키고 높은 주파수 대역은 감쇠한다. 고역 통과 필터(HPF)는 높은 주파수 대역만 통과시키고 낮은 주파수 대역은 차단한다. 대역 통과 필터(BPF)는 특정 범위의 주파수만 통과시키고 그 외 주파수는 억제한다. 대역 제거 필터(BSF)는 특정 범위의 주파수만 제거하고 나머지 대역은 통과시킨다.

이러한 필터는 전형적으로 전송함수 $G(s)$로 표현되며, 차수가 높아질수록(즉, 분모의 차수나 분자의 차수가 증가할수록) 필터의 주파수 응답 기울기(roll-off)가 가파르게 변한다. 예를 들어, 1차 필터는 –20 dB/dec의 기울기를, 2차 필터는 –40 dB/dec의 기울기를, 3차 필터는 –60 dB/dec의 기울기를 갖는다. 주파수 영역에서의 크기와 위상 응답은 전송함수의 영점(zeros)과 극점(poles)의 배치에 의해 결정된다.

#### RLC 회로의 주파수 응답

대표적인 2차 시스템으로 RLC 회로가 있다. 직렬 RLC 회로를 예로 들면, 입력 전압 $v\_{in}(t)$가 인덕터 $L$, 저항 $R$, 커패시터 $C$를 순서대로 통과하여 출력 전압 $v\_{out}(t)$가 커패시터 양단에서 측정되는 구성이 있다. 이때 KVL(키르히호프 전압 법칙)과 소자 방정식을 이용하면

$$
L \frac{d i(t)}{dt} + R i(t) + \frac{1}{C} \int i(t),dt = v\_{in}(t)
$$

로 기술되며, 커패시터 전압을 출력으로 놓으면 $v\_{out}(t) = \frac{1}{C}\int i(t),dt$ 관계가 성립한다. 이를 라플라스 변환하여 전류 $I(s)$와 전압 $V\_{in}(s)$, $V\_{out}(s)$로 표현하면

$$
\begin{aligned}
L s I(s) + R I(s) + \frac{1}{C}\frac{1}{s} I(s) &= V\_{in}(s) \\
V\_{out}(s) &= \frac{1}{C} \frac{1}{s} I(s)
\end{aligned}
$$

등의 식을 얻고, 이를 이용해

$$
G(s) = \frac{V\_{out}(s)}{V\_{in}(s)}
$$

를 구하면

$$
G(s) = \frac{1/(C s)}{L s + R + \frac{1}{C s}} = \frac{1}{L C s^2 + R C s + 1}
$$

라는 2차 전송함수를 얻게 된다. 주파수응답 $G(j\omega)$를 보면

$$
G(j\omega) = \frac{1}{- \omega^2 L C + j \omega R C + 1}
$$

의 형태가 되며, $L, C, R$의 값에 따라 공진 주파수, 감쇠 계수 등이 결정되고, 그에 따른 크기 응답과 위상 응답을 얻을 수 있다.

#### 보드 선도(Bode plot)와 안정도 분석

보드 선도는 주파수 해석에서 자주 활용되는 도구로서, 한 축에는 $\omega$를 로그 스케일로, 다른 축에는 전달함수의 크기(대개 dB 스케일)와 위상을 각각 나타낸다. 예컨대 어떤 단순한 1차 전달함수

$$
G(s) = \frac{1}{s + a}
$$

에 대해 $s = j\omega$를 대입하면

$$
G(j\omega) = \frac{1}{j\omega + a}
$$

가 되고, 이때 크기는

$$
|G(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{\omega^2 + a^2}}
$$

위상은

$$
\angle G(j\omega) = -\tan^{-1}!\Bigl(\frac{\omega}{a}\Bigr)
$$

로 주어진다. 이를 보드 선도에 그려 보면, 저주파 영역($\omega \ll a$)에서는 크기가 $1/a$ 근방에 머무르며 위상은 0에 가깝고, 고주파 영역($\omega \gg a$)에서는 크기가 $\omega$에 대해 역비례하며 위상은 –90도에 근접한다. 실제 제어 시스템의 해석에서는 여러 개의 극점과 영점이 조합된 전송함수를 대하여 보드 선도를 그린 뒤, 주파수대역별로 어떻게 시스템 위상과 이득이 변화하는지 관찰하고, 폐루프 안정도와 성능 지표(위상 여유, 이득 여유, 대역폭 등)를 추정하게 된다.

#### 나이퀴스트 선도와 궤환 시스템

궤환 제어 시스템에서 개루프 전달함수를 $L(s)$라고 할 때, 안정도를 조사하기 위해 빈번히 활용되는 것이 나이퀴스트(Nyquist) 선도다. $L(j\omega)$를 복소평면 위에 주파수 $\omega$를 0에서 무한대로 변화시키며 그려 나간 것이 나이퀴스트 선도이고, 이것의 둘레(폐곡선)가 –1점을 어떻게 감싸는지(에워싸는 횟수)가 폐루프 시스템의 안정도와 밀접히 관련된다. 나이퀴스트 안정도 판별법은 주파수 영역에서 시스템 극점이 우반부에 있는지, 혹은 불안정 모드가 생기는지를 간단히 판별케 해 준다. 이를 통해 오차가 불만족스럽거나 안정도가 낮다면, 위상보상기나 이득 보상기 등을 통해 주파수응답을 적절히 수정하여 원하는 폐루프 특성을 얻는 설계를 수행할 수 있다.

#### 니콜스 선도와 궤환 이득 조정

니콜스 선도는 보드 선도와 나이퀴스트 선도의 장점을 결합한 형태로 볼 수 있다. 크기(dB)와 위상을 한 평면에 나타내어 특정 궤환 이득에서 폐루프 이득곡선과 안정 여유 등을 동시에 확인한다. 예컨대 특정 이득 $K$를 곱한 개루프 전달함수 $K L(j\omega)$에 대해 $\omega$를 변화시키면서 크기 및 위상을 추적하면, 니콜스 평면 위에 곡선이 그려진다. 이 곡선과 폐루프 등고선(폐루프 크기 응답이 일정한 곡선을 매개변수화한 곡선) 간의 상대적인 위치를 확인함으로써, 어느 정도 이득 $K$로 설정해야 원하는 사양을 만족하는지 시각적으로 파악할 수 있다. 실제 제어기 설계 과정에서는 목표로 하는 감쇠비, 대역폭, 오버슈트 등의 사양을 고려하여 니콜스 선도를 통해 보상기(위상 보상기, PID 조율 등)를 조정하게 된다.

#### 주파수 응답 기법의 확장

선형 범위 밖에서도 주파수응답적 사고방식은 일부 확장해 적용하기도 하지만, 엄밀한 해석은 선형 시스템의 영역에서 가장 잘 들어맞는다. 복수의 비선형 요소가 존재하거나, 시간 변동적 파라미터가 들어가는 시스템이라면 일반적인 주파수응답 해석은 제한적일 수 있다. 그럼에도 불구하고 현실 세계의 물리적 시스템 상당수가 특정 범위 내에서 선형 근사로 해석 가능하고, 주파수응답 기법은 설계와 검증에 필수적인 도구로 자리잡고 있다.

특히 높은 차수의 복잡한 시스템에서도 극점-영점의 배치를 적절히 파악하고, 보드 선도나 나이퀴스트 선도, 니콜스 선도 등을 통해 궤환 특성을 관찰하면, 초기에 잡았던 설계 사양이 만족되는지, 안정도 여유가 충분한지를 간편히 확인할 수 있다.

#### 소규모 이득 정리와 주파수 응답

주파수 영역 해석에서 중요한 개념 가운데 하나로 소규모 이득 정리(small-gain theorem)가 있다. 이 정리는 비선형성이나 불확실성이 포함된 폐루프 시스템에서 안정성을 보장하기 위한 간단하면서도 강력한 도구로 쓰인다. 그러나 선형 시스템만 놓고 보아도, 시스템의 최대 이득 특성이 충분히 작으면, 궤환 루프에 결합된 외란이나 불확실성이 일정 한도를 넘어서지 않는 한 안정도가 파괴되지 않는다는 논리가 된다.

이를 좀 더 구체적으로 설명하면, $L(s)$라는 개루프 전달함수에 일정한 외란이나 불확실성 블록 $\Delta(s)$가 곱 형태로 결합되어 있을 때,

$$
|L(j\omega)\Delta(j\omega)| < 1
$$

가 모든 $\omega$에서 보장되면(즉, 주파수 전체 구간에 걸쳐 시스템 이득 곱이 1보다 작다면), 폐루프가 안정하다는 결론으로 이어진다. 여기서 $\Delta(s)$가 비선형 또는 시간 변동 요소라 하더라도, 특정 노름(예를 들어 $H\_\infty$ 노름) 관점에서의 크기가 작으면 시스템 전체의 안정성이 유지된다는 것이다.

선형 제어 분야에서는 이러한 이득 곱 조건을 보통 간단한 형태의 보드 선도 해석으로 파악하기도 한다. 보드 선도에서 $|L(j\omega)|$ 곡선이 -6 dB 이하(즉 0.5 배 이하)로 충분히 낮은 주파수 대역이 넓다면, 외부 블록 $\Delta(s)$가 꽤 큰 변동성을 가지더라도 시스템이 견딜 수 있다는 경험적 해석을 덧붙일 수 있다.

#### $H\_2$ 노름과 주파수 해석

선형시스템의 응답 특성을 노름(norm) 관점에서 해석할 때, $H\_2$ 노름과 $H\_\infty$ 노름이 자주 활용된다. $H\_2$ 노름은 시스템의 임펄스 응답 제곱 적분이 유한하다는 전제에서 출발하며, 다음과 같이 정의한다.

$$
|G|*{H\_2}^2 = \frac{1}{2\pi} \int*{-\infty}^{\infty} \mathrm{trace}\bigl(G(j\omega)^\dagger G(j\omega)\bigr), d\omega
$$

여기서 $G(j\omega)$가 행렬값 전달함수인 경우, $\mathrm{trace}(\cdot)$는 행렬의 대각합이고, $\dagger$는 에르미트 전치를 의미한다. 스칼라 시스템이라면 단순히 $|G(j\omega)|^2$를 적분하는 형태가 된다. $H\_2$ 노름은 입력이 백색 잡음일 때 출력 에너지를 나타내는 해석으로도 연결되어, 특정 시스템이 랜덤 외란에 얼마나 민감한지를 보여주는 지표가 된다.

시스템 극점이 왼쪽 반평면에 잘 배치되어 있어 안정적이라면, 모든 극점이 음의 실부분을 가져 $G(s)$의 임펄스 응답이 정상상태로 수렴하게 된다. 이 경우 $H\_2$ 노름은 유한한 값이 되며, 주파수영역 적분으로도 이를 계산할 수 있다. 제어기 설계 측면에서, $H\_2$ 최적화는 시스템 출력의 이차 기준 최소화를 의미하여 LQG(Linear Quadratic Gaussian) 제어나 칼만 필터 설계와 같은 방법론과 연결된다.

#### $H\_\infty$ 노름과 강인 제어

$H\_\infty$ 노름은 주파수 축 전역에서의 최대 이득을 측정하는 개념이다. 스칼라 시스템 $G(s)$에 대하여

$$
|G|*{H*\infty} = \sup\_{\omega \in \mathbb{R}} |G(j\omega)|
$$

로 정의되며, 시스템이 주파수 대역 전체에서 얼마나 큰 이득을 갖는지의 상한선(최악의 경우)을 보여준다. $H\_\infty$ 제어는 이를 이용하여, 시스템이 외부에서 주어지는 임의의 외란이나 모델 불확실성에 대해 출력이 크게 요동하지 않도록 제어기를 설계하려는 시도다.

주파수 해석의 관점에서 보면, $G(j\omega)$의 크기를 가능한 한 작게 유지해야 어떤 주파수에서 들어오더라도 외란이나 잡음이 출력으로 증폭되지 않는다. 실제로 $H\_\infty$ 제어 이론에서는 민감도 함수 $S(s)$나 보완 민감도 함수 $T(s)$ 등의 크기를 특정 주파수 대역에서 억제해야 하는 문제가 나오는데, 이는 모두 보드 선도나 나이퀴스트 선도로 분석 가능한 주파수영역 문제로 귀결된다.

$H\_\infty$ 접근법에서는 $G(s)$ 자체가 아니라 외란 경로와 측정 경로, 구동 신호 경로 등이 모두 연결된 일반화된 플랜트(generalized plant) 모델을 구성한 뒤, 이 전체 블록의 전송함수가 가지는 $H\_\infty$ 노름을 최소화하는 방향으로 제어기를 찾는다. 궁극적으로, 안정도와 함께 기준응답, 잡음/외란 억제, 모델 불확실성 보상이 통합적으로 고려된다.

#### 패시브 시스템과 주파수 응답

시스템이 입력과 출력 사이에서 에너지를 생성하지 않고 오직 소모하거나 저장만 한다면, 이를 패시브 시스템(passive system)이라고 부른다. 패시브성은 시간영역 정의로는

$$
\int\_{0}^{t} u(\tau)^\mathsf{T} y(\tau), d\tau \ge - \alpha
$$

등의 형태로 표현되지만, 주파수 영역에서도 임피던스나 어드미턴스의 실수가 항상 양(또는 음)이라는 식의 조건으로 해석될 수 있다. 물리적 네트워크 예를 들면, 순수 RLC 소자를 사용한 회로가 패시브 시스템의 전형적인 예이다.

제어이론 측면에서는 패시브 시스템에 일반적인 궤환 구조를 적용했을 때 안정도가 비교적 쉽게 보장된다는 사실이 알려져 있다. 이때도 주파수영역에서 시스템 임피던스, 어드미턴스, 전달함수의 위상 등 여러 물리량이 결정적인 단서를 제공한다. 따라서 패시브 네트워크나 기계적 구조를 제어할 때, 주파수 해석으로 그 시스템이 에너지를 얼마나 흡수하거나 반사하는지 살펴보면, 별다른 추가 장치 없이도 안정도가 확보되는 경우를 자주 발견할 수 있다.

#### 무제한 차수 시스템과 근사

현실적으로 무한 차수(지연 요소, 분포 파라미터 시스템 등)를 가진 시스템도 존재한다. 이를 엄밀하게 해석하기는 쉽지 않으나, 적절한 근사 기법이나 모드 분해 기법(예: 해석 모드 분해, 모달 해석 등)을 통해 유한 차수 모델로 단순화한 뒤에 주파수 영역 해석을 적용하기도 한다. 예를 들어, 물리적 시스템의 지연이나 분산 효과를 여러 개의 극점과 영점이 조밀하게 분포된 구조로 근사해 볼 수 있으며, 특정 주파수 범위에서는 단 몇 개의 극점-영점만이 시스템 거동에 지배적인 영향을 준다고 판단할 수 있다.

주파수응답 기반 설계에서는 이렇게 근사된 저차 모델을 토대로 궤환 제어기를 구한 다음, 이후 고차 항이나 잔여 다이나믹스가 미치는 영향을 재평가하여 설계를 보완한다. 이에 대한 타당성 검토도 보드 선도나 나이퀴스트 선도, 혹은 주파수 응답 특정 지표($H\_\infty$ 노름 등)를 통해 손쉽게 이루어질 수 있다.

#### MIMO 주파수 해석과 특이값

지금까지 다룬 주파수 응답은 주로 단일 입출력(SISO) 구조를 위주로 소개되었다. 하지만 실제 산업 현장이나 복잡한 공정에서는 다중 입출력(MIMO) 시스템이 매우 흔하게 등장한다. 이때 시스템을 주파수 영역에서 해석하려면, 스칼라 전달함수 대신 행렬값 전달함수를 다루게 된다.

$$
\mathbf{G}(s) = \begin{bmatrix} G\_{11}(s) & G\_{12}(s) & \cdots \ G\_{21}(s) & G\_{22}(s) & \cdots \ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}
$$

와 같이 나타나며, 각각의 요소 $G\_{ij}(s)$는 $i$번째 출력에 대한 $j$번째 입력의 전달 특성을 의미한다. 이를 $s = j\omega$로 치환하여 $\mathbf{G}(j\omega)$로 만들면, 동일하게 주파수별 크기와 위상이 결정되지만 이제는 행렬의 형태이므로 단일 스칼라 값으로 표현하기가 어렵다. 대신 다음과 같은 여러 가지 지표를 활용할 수 있다.

주파수별 특이값(singular value)을 구하여 해석하는 방법이 대표적이다. $\mathbf{G}(j\omega)$에 대한 특이값 분해(SVD)를 적용하면,

$$
\mathbf{G}(j\omega) = \mathbf{U}(\omega), \mathbf{\Sigma}(\omega), \mathbf{V}^\dagger(\omega)
$$

와 같이 나타날 수 있고, 이때 대각행렬 $\mathbf{\Sigma}(\omega)$의 원소들이 $\mathbf{G}(j\omega)$의 특이값들이다. 가장 큰 특이값(최대 특이값)은 주어진 주파수 $\omega$에서의 최대 이득을 의미하고, 가장 작은 특이값(최소 특이값)은 해당 주파수에서의 최소 이득을 의미한다. 따라서 MIMO 시스템 안정도나 응답 특성을 살필 때, 최대 특이값을 보드 선도와 유사한 형태로 그려서 어떤 주파수 대역에서 이득이 크게 나타나는지, 혹은 극단적으로 감쇠되는지 등을 확인할 수 있다.

#### MIMO 나이퀴스트 및 뮤-해석

SISO 구조에서는 나이퀴스트 선도를 복소평면에 그려 –1점(혹은 –1+0j)을 에워싸는지를 조사하는 방식으로 폐루프 안정도를 판별했다. MIMO에서는 행렬값 전달함수 $\mathbf{L}(j\omega)$를 동일한 방식으로 간단히 그려내기가 쉽지 않다. 대신 행렬의 행렬식이나 고유치 등을 추적하거나, 위에서 언급한 특이값 해석과 결합하여 안정도를 평가한다.

특히 구조화된 불확실성(uncertainty)이 존재하는 MIMO 시스템에 대해서는 뮤-해석($\mu$-analysis)이라는 강인제어 기법이 널리 쓰인다. 이는 “구조화된 특이값”이라고도 불리며, 다음과 같은 형태의 시스템을 생각해 볼 수 있다.

$$
\mathbf{M}(j\omega) = \mathbf{N}(j\omega) \bigl(\mathbf{I} - \Delta(j\omega), \mathbf{N}(j\omega)\bigr)^{-1}
$$

에서 불확실성 블록 $\Delta(j\omega)$가 어떤 구조(예: 대각 행렬 형태, 블록 대각 형태)를 가진다고 가정하면, 이 시스템이 안정을 잃지 않을 조건으로

$$
\mu\_{\Delta}(\mathbf{N}(j\omega)) < 1
$$

가 전 주파수에 대해 성립해야 한다는 식의 판별법을 적용한다. 여기서 $\mu\_{\Delta}$는 구조화된 특이값 측정값으로서, $\mathbf{N}(j\omega)$가 주어진 불확실성 구조에 대해 어느 정도의 안정 여유를 갖고 있는지를 보여준다. 이는 고차원 MIMO 시스템의 안정성과 강인 성능을 분석하는 데 매우 유용하고, 실제 항공우주, 로보틱스, 석유화학 공정 등 다양한 분야에서 적용된다.

#### 내부 안정성(Internal stability)과 유입 경로

MIMO 시스템에서 폐루프가 안정이라는 것은 단순히 출력만 안정하면 된다는 개념과 다르다. MIMO 피드백 시스템을 꾸밀 때 시스템 내부의 여러 신호 경로도 유한한 에너지를 갖고 수렴해야, 비로소 내부 안정성이 성립한다고 말한다.

이를 체계적으로 다루려면, 시스템을 다음과 같이 분해한다.

$$
\begin{aligned} \mathbf{x}(t) &: \text{상태 변수 벡터}, \ \mathbf{u}(t) &: \text{제어 입력 벡터}, \ \mathbf{y}(t) &: \text{출력 벡터}, \ \mathbf{w}(t) &: \text{외란 혹은 추적 명령에 대응하는 입력 벡터}. \end{aligned}
$$

이때 상태방정식을

$$
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A},\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\_1,\mathbf{w}(t) + \mathbf{B}\_2,\mathbf{u}(t)
\\
\mathbf{y}(t) &= \mathbf{C},\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}\_1,\mathbf{w}(t)
\end{aligned}
$$

형태로 쓸 수 있고, 궤환 제어 로직이

$$
\mathbf{u}(t) = \mathbf{K},\mathbf{y}(t)
$$

라고 하면, 전체 폐루프 방정식에서 $\mathbf{x}(t)$가 모두 수렴하고(즉, $|\mathbf{x}(t)|\to 0$), 각 내부 신호들도 안정적으로 억제되어야만 내부 안정이라 할 수 있다. 이 개념은 주파수 영역에서도 극점의 위치나 특이값 성질 등을 통해 해석되지만, MIMO 환경에서는 상호결합(coupling) 때문에 세심하게 검토해야 한다.

#### Youla 파라미터화(Youla parameterization)와 루프셰이핑

주파수 도메인 설계에서, 폐루프 안정성을 만족하는 제어기 전체 집합을 체계적으로 표현하기 위해 “Youla-Kučera 파라미터화”가 활용되기도 한다. SISO 시스템이라면,

$$
C(s) = \frac{Q(s)}{1 - P(s)Q(s)}
$$

형태로 모든 안정 폐루프를 만들어내는 제어기 집합을 표현할 수 있는데, $P(s)$는 식별된 혹은 모델링된 공정(플랜트)의 안정한 역(우측 반평면에 극점이 없는 역함수)이 존재한다고 가정하는 것이다. 여기서 $Q(s)$를 적절히 조절함으로써, 제어기의 다양한 주파수 응답 특성을 얻을 수 있다.

이를 MIMO로 확장하면 행렬 연산이 필요하나, 기본 개념은 동일하다. Youla 파라미터($Q$)를 바꿈에 따라 원하는 루프셰이핑(loop shaping), 즉 특정 주파수 구간에서는 이득을 높이고 다른 구간에서는 낮추는 식으로 설계가 가능해진다. 그 결과 보드 선도나 특이값 Bode plot을 참고하며, 필요한 대역폭, 감쇠비, 안정 여유 등에 맞추어 정교하게 튜닝할 수 있다.

#### 고대역폭 제어와 물리적 제한

주파수 해석에서 제어 대역폭을 무작정 크게 잡으면 시스템 응답 속도가 향상될 것 같지만, 실제로는 구동 장치(액추에이터)의 한계, 센서 노이즈, 진동 모드, 시간 지연 같은 물리적 제약 때문에 지나치게 높은 대역폭은 오히려 불안정이나 과도진동을 야기한다.

주파수 응답 관점에서 보면, 대역폭을 늘릴수록 고주파 성분까지 제어 루프가 반응해야 하므로, 노이즈나 모델 불일치가 증폭될 가능성이 커진다. 보드 선도상에서 고주파 구간에 큰 이득이 남아 있으면, 위상 여유와 이득 여유가 급격히 줄어 폐루프가 불안정해지기 쉽다. 따라서 설계자는 응답 속도(낮은 주파수 대역)와 노이즈 민감도(고주파 대역), 그리고 안정 여유를 동시에 고려해 최적의 타협점을 찾아야 한다.

#### 모델 축소와 주파수 도메인 오류

복잡한 고차 모델을 그대로 주파수해석 해보면 이론적으로는 정확하겠지만, 설계나 튜닝 과정에서 처리해야 할 변수가 너무 많아 실용성이 떨어진다. 그래서 높은 차수 모델을 간단한 저차 모델로 축소하는 기법들이 있는데, 이 과정에서 주파수 도메인에서의 근사 오차가 생긴다.

예를 들어, 분할된 균형법(balanced truncation)이나 모달 축소 기법 등을 쓰면, 모델 극점 중에서 감쇠가 충분히 크거나 응답에 영향이 미미한 부분을 제거하여 차수를 줄일 수 있다. 단, 제거된 모드는 특정 주파수 구간에서 중요한 거동을 나타낼 수도 있으므로, 반드시 축소 오차가 허용 범위 내에 있는지 확인해야 한다. 대개

$$
|\mathbf{G}(s) - \mathbf{G}*{\mathrm{red}}(s)|*{H\_\infty}
$$

값을 평가하거나, 주요 주파수에서의 차이를 비교해 안전성을 보장한다. 모델 축소로 인해 주파수응답이 크게 왜곡되면, 그 근사 모델을 기반으로 한 제어 설계 또한 실패 가능성이 높아진다.

#### 파라메트릭 불확실성과 로버스트 제어

현실의 제어 대상(플랜트)은 공정 조건, 온도 변화, 마모, 유체 동역학적 요인 등으로 인해 모델 파라미터가 시간에 따라 달라질 수 있다. 이처럼 시스템 내부에 내재된 불확실성을 파라메트릭(parametric) 형태로 정의할 때, 주파수 영역 해석은 이를 간단히 표현하고 안정도 및 성능 보장을 빠르게 검토할 수 있는 수단을 제공한다.

가령 $a$라는 파라미터가 일정 범위로 변하는 1차 전달함수

$$
G(s) = \frac{k}{s + a}
$$

를 생각해 보면, $a$가 $\[a\_{\min}, a\_{\max}]$ 구간에서 달라질 때, $G(j\omega)$ 역시 그 구간에 따라 일련의 궤적을 형성한다. 이를 보드 선도나 나이퀴스트 선도 상에 표시하여, 어느 구간에서 위상 여유와 이득 여유가 얼마나 확보되는지 확인할 수 있다.

불확실성이 단순 스칼라 범위를 넘어서 복수의 파라미터가 상호 연관되어 있거나 고차원 행렬로 구성되어 있다면, 더욱 정교한 로버스트 제어 이론(예: Structured Singular Value, μ\mu-analysis 등) 또는 Kharitonov 정리(다항식 계수 불확실성) 등을 활용해야 한다.

#### 비선형성을 주파수 영역에서 근사하기

시스템에 크고 명백한 비선형 요소가 있으면, 선형 주파수 해석만으로는 오차가 크게 발생한다. 그럼에도 제어 이론에서는 “작은 신호” 근사나 동작점 근사를 통해, 제한적인 범위에서 비선형을 선형 등가로 여긴 뒤 주파수 응답을 구한다. 이를 위해 국소적 리니어라이제이션(local linearization)을 적용하기도 하며, 동작점 인근에서 테일러 전개를 통해

$$
f(\mathbf{x}) \approx f(\mathbf{x}\_0) + \nabla f(\mathbf{x}\_0), (\mathbf{x}-\mathbf{x}\_0)
$$

형태의 국소선형 모델을 얻는다. 그 결과로 얻어진 소(小)신호 모델의 전달함수에 $s=j\omega$를 대입해 분석하면, 해당 동작점 주변에서만 유효한 주파수응답 특성을 확인할 수 있다.

이 방식은 고차의 강비선형 현상(불포화 구간, 죽은 구간, 히스테리시스 등)에는 그대로 적용하기 어렵지만, 산업 제어 시스템에서 적절한 입력 크기와 동작점 조건이 유지될 때, 비선형 시스템도 부분적으로 선형 주파수 해석을 활용해 제어기 설계와 안정성 검증을 수행한다.

#### 리미터, 포화, 데드존이 포함된 제어 루프

실제 제어 루프에는 입력이나 출력이 특정 범위를 넘지 못하도록 리미터(limiter)나 포화(saturation) 블록이 들어간다. 밸브 개도율은 0%에서 100% 사이여야 하며, 모터 전압이나 PWM 듀티 비율도 제한된 구간 내에서만 동작한다.

이처럼 본질적으로 비선형 요소이지만, 작은 신호 해석이나 정상 운전 범위에서 포화가 걸리지 않는 전제하에 주파수 도메인 해석이 가능하다. 만일 입력이 커서 자주 포화 구간에 도달한다면, 비선형 해석 기법(시뮬레이션, 유한 상태 머신 모델, 슬라이딩 모드 등)을 고려해야 한다. 그래도 제어기 초기 설계 단계에서 주파수 응답을 토대로 보상기를 맞추고, 이후 포화나 비선형 요소의 영향을 시간영역 시뮬레이션으로 추가 검증하는 접근이 일반적이다.

#### 적응 제어와 주파수 해석

파라미터가 온라인으로 추정되거나 제어 이득이 실시간으로 갱신되는 적응 제어(adaptive control) 역시, 완전히 비선형 관점에서 해석해야 하는 복잡한 문제다. 하지만 일부 적응 로직(예: MRAC: Model Reference Adaptive Control)이 충분히 빠른 시간 스케일로 수렴하여 안정 영역에서만 파라미터가 변동한다고 가정하면, 임의 시점에서의 “순간적인 선형 모델”에 대해 주파수 응답을 추정해 보는 방법이 가능하다.

즉, 적응 제어기의 파라미터가 결정된 뒤에는 “현재 시점에서의 선형화된 시스템”으로 간주하고, 그 시스템에 대한 주파수 응답을 계산함으로써 안정 여유와 성능을 점검할 수 있다는 것이다. 다만 적응 파라미터 변화가 무한히 빠르거나, 큰 외란으로 인해 자주 재조정이 일어나면, 이 같은 근사는 실제 거동과 큰 차이를 보일 수 있다.

#### 다중 루프 제어와 분산 제어

산업 현장에서 제어기 설계를 하다 보면, 여러 부분 시스템이 서로 물리적으로 연결되어 있으나, 통신 지연이나 분산 구조 때문에 각 루프가 독립적으로 제어되는 경우가 흔하다. 예를 들어, 대형 플랜트에서 여러 지역 컨트롤러가 각각의 센서와 액추에이터만 책임지고, 이들 사이 연결은 제한적으로만 공유된다고 하면, 전형적인 분산 제어(distributed control) 구조가 형성된다.

주파수 영역에서 이를 해석하려면, 전체 시스템 전달함수를 하나의 큰 MIMO 블록으로 보는 대신, 각 부분 시스템이나 서브 블록의 주파수 응답을 분석하고 상호작용(crosstalk)을 외란처럼 간주하기도 한다. 교차 커플링이 매우 큰 주파수 대역에서는 각 지역 제어기가 서로 간섭을 일으켜 안정도를 위협할 수 있으므로, 그 구간에서의 이득이나 위상을 얼마나 억제해야 하는지 확인이 중요하다.

#### 디커플링(Decoupling)과 주파수 설계

MIMO 시스템에서 입력-출력 채널 간의 결합이 심할 경우, 디커플링(decoupling) 기법을 통해 가상적인 단일 입출력 구조처럼 동작하도록 만들 수 있다. 예컨대 2×2 시스템

$$
\mathbf{G}(s) = \begin{bmatrix} G\_{11}(s) & G\_{12}(s) \ G\_{21}(s) & G\_{22}(s) \end{bmatrix}
$$

에서, 조건부 역행렬이나 유사역행렬을 도입해

$$
\mathbf{D}(s) \approx \mathbf{G}(s)^{-1}
$$

에 가까운 블록을 만들고, 이를 피드포워드나 피드백 경로에 삽입하여 대각 성분이 우세한 효과를 얻도록 유도한다. 이때 디커플링 행렬 설계도 결국 주파수응답 관점에서, 어느 주파수 범위에서 결합을 줄일 것인지를 정하는 문제다. 고주파에서는 노이즈 증폭이 우려되므로 너무 과도한 디커플링이 불리할 수 있으며, 저주파에서는 제어 채널 간 간섭을 크게 줄여 설계 사양을 만족시키는 식으로 타협점을 찾는다.

#### 비례-적분-미분(PID) 제어의 주파수 해석

실무에서 가장 널리 사용되는 제어 구조 중 하나가 PID 제어다. SISO 구조일 때,

$$
C(s) = K\_p \Bigl(1 + \frac{1}{T\_i s} + T\_d s\Bigr)
$$

형태로 표현되며, 이를 보드 선도에서 살펴보면, 비례($K\_p$)가 이득 곡선을 상하로 평행 이동시키고, 적분($1/(T\_i s)$)은 저주파 이득을 증가시켜 정상상태 오차 제거 효과를 주며, 미분($T\_d s$)은 고주파 구간에서 위상을 조금 더 빠르게 만들어 피드백 속도를 높이는 역할을 한다.

하지만 미분 항은 실제 노이즈 증폭을 유발하므로, 실제 구현에서는 “위상선행 보상기”처럼 제한된 고주파 대역에서만 미분 효과를 주도록 설계하며, 주파수 영역에서 노이즈 감도가 과도하게 커지지 않는지 늘 확인한다. 이 점이 PID를 단순 시간영역 튜닝으로만 접근했을 때와 달리, 주파수영역 해석이 필수적으로 활용되는 이유다.

#### 유한 시간응답 스펙과 주파수영역 설계의 연결

공학적 설계 사양에는 상승시간, 오버슈트, 세 settling time 등 시간영역 지표가 주어진다. 주파수 영역 설계에서 이를 만족시키기 위해, 대역폭과 위상 여유, 이득 여유 등을 설정하는 방법이 통용된다. 예를 들어, 상승시간이 0.1초 이내가 되려면 특정 주파수 범위까지 충분한 이득이 유지되어야 하며(대역폭 확보), 오버슈트를 제한하려면 위상 여유를 일정 수준 이상 확보해야 한다.

이렇듯 시간영역 사양 ↔ 주파수영역 지표 사이에 통계적·경험적·이론적 상관관계가 존재한다. 실무에서는 먼저 목표 시간영역 사양을 설정하고, 이를 만족할 만한 보드 선도(이득 곡선, 위상 곡선) 형태를 유추한 뒤, 실제 전달함수를 바탕으로 보상기를 설계한다. 이 과정에서 필요하다면 극점 배치나 루프셰이핑 등의 기법을 쓰고, 최종 성능을 시뮬레이션으로 검증함으로써 선형근사 모델과 실제 시스템 사이의 차이를 보완한다.

#### 멀티레이트(multi-rate) 시스템의 주파수 해석

연속시간에서 샘플링된 디지털 시스템은 일반적으로 단일 샘플링 주기 $T\_s$를 가정하지만, 실제로는 다양한 이유로 서로 다른 샘플링 주기를 가지는 멀티레이트(multi-rate) 구조가 사용되기도 한다. 예를 들어, 센서 측정은 비교적 느린 주기로 이뤄지고, 제어 신호 출력은 빠른 주기로 업데이트하거나, 반대로 센서는 빠른 속도로 샘플링하되 액추에이터가 물리적으로 느리게 반응하는 방식이 가능하다.

이 경우 각 루프마다 샘플링 주기가 다르므로, 단일 $z$-변수로 표현하기가 쉽지 않다. 특정 공간에서는 $z\_1 = e^{j\Omega\_1}$, $z\_2 = e^{j\Omega\_2}$ 식으로 서로 다른 단위원 경계에서 주파수 응답을 고려해야 하며, 이론적으로는 이산시간 멀티레이트 시스템을 변환하여 단일 비례 시스템으로 만들 수도 있지만, 결과가 복잡해진다.

그래서 실무에서는 멀티레이트 시스템을 부분적으로 단일레이트 근사로 보고 주파수 영역 해석을 적용하거나, 고속 루프와 저속 루프를 따로 떼어놓고 각각 독립적인 주파수 해석을 한 뒤 상호 교차 영향(crosstalk)을 외란 혹은 불확실성으로 간주하기도 한다.

멀티레이트 구조에서 중요한 것은 고속 측, 저속 측을 서로 어떤 방식으로 동기화하는가, 샘플홀드나 제로오더홀드(Zero-Order Hold, ZOH)의 영향은 어떻게 반영되는가 등이다. 특히 고속 샘플링된 채널에서 얻은 정보를 저속 루프에 재구성할 때는 다운샘플링(down-sampling)에 따른 에일리어싱, 저속 루프에서 얻은 출력을 고속 루프로 투입할 때는 업샘플링(up-sampling)과 보간(interpolation)이 이뤄지므로, 이로 인한 위상 지연과 크기 왜곡이 발생할 수 있다.

주파수 영역에서 이를 단순화해 표현하려면, 부분 블록 단위로 $G\_1(z\_1)$, $G\_2(z\_2)$ 같은 형식으로 각각 해석한 뒤, 상호 연결부는 저역 또는 고역 필터링 요소로 근사하기도 한다. 혹은 멀티레이트를 등가의 단일레이트 시스템으로 만들기 위해 상태 확장(state expansion) 기법을 적용하여 큰 차수의 이산시간 모델을 얻고, 그 모델에 대한 보드 선도나 나이퀴스트 해석을 하기도 한다.

#### 임펄스 불변 변환(Impulse Invariance)과 주파수 왜곡

디지털 필터나 디지털 제어기를 설계할 때, 연속시간에서 구한 전달함수 $H(s)$를 이산시간으로 옮기는 한 방법으로 임펄스 불변 변환(Impulse Invariance)이 있다. 이는 연속시간 임펄스 응답 $h(t)$를 샘플링하여 이산임펄스 응답 $h\[n]$를 만든 뒤, 그 Z 변환을 취하여 $H(z)$를 구하는 방식이다.

연속시간에서

$$
h(t) = \mathcal{L}^{-1}{H(s)}
$$

라 할 때, 이를 $t = nT\_s$에서 샘플링한 값들을

$$
h\[n] = h(nT\_s)
$$

로 정의한다. 그 뒤

$$
H(z) = \sum\_{n=0}^{\infty} h\[n] z^{-n}
$$

로 얻는 방식이다. 이상적으로는 연속시간 필터와 동일한 형태의 주파수응답을 갖도록 기대하지만, 이 방법은 주파수 축이 나이퀴스트 주파수 $\pi / T\_s$를 넘어서는 구간에서 접힘(folding)이 발생하여 고주파 영역이 왜곡될 수 있다. 또한 이론적으로 임펄스 입력이 매우 높은 에너지를 갖는 탓에, 실제 시스템에 적용하기가 부담스러운 경우가 있다.

#### 영점-위상 매핑과 Tustin 변환

임펄스 불변 변환의 대안으로 Tustin 변환(이차 사상 변환, bilinear transform)이 자주 활용된다.

$$
s = \frac{2}{T\_s},\frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}
$$

치환으로 이루어지는 Tustin 변환은, 연속시간의 왼쪽 반평면 전체를 $z$-평면의 단위원 내부로 매핑하여 안정성과 극점 배치를 유지한다. 또한 연속시간의 $j\omega$ 축이 이산시간에서 단위원 $|z|=1$로 일대일 대응되므로, 예측 가능한 방식으로 주파수축이 왜곡된다.

이때도 고주파 영역에 대해서는 $j\omega$가 $z=e^{j\Omega}$로 매핑되는 과정에서 비례 관계가 아닌 비선형적 늘이기/줄이기가 발생한다. 특히

$$
\omega \longleftrightarrow \tan\Bigl(\frac{\Omega}{2}\Bigr)
$$

라는 관계식이 생겨서, 중간 주파수대의 응답을 잘 맞추는 대신 초고주파 영역 해석에서 차이가 커질 수 있다. 그럼에도 Tustin 변환은 대부분의 실무 상황에서 연속시간 설계안을 이산시간 구현으로 옮길 때 간편하면서도 신뢰도 높은 방법으로 통한다.

#### 영점 보강과 주파수응답

디지털 제어기 설계 과정에서, 특정 주파수대에서 위상이나 이득 특성을 보강하기 위해 영점을 적절히 배치하는 방식이 자주 쓰인다. 연속시간 PID의 미분 항과 유사하게, 디지털 제어기에서도 $z$영점이 단위원 바깥쪽에 놓이면 위상 선행 효과를 낼 수 있고, 반대로 단위원 안쪽에 두면 적분 성능을 보강하게 된다.

다만 연속시간의 극점-영점과 이산시간의 극점-영점 배치는 단순 대응이 아니라 변환 방식에 따라 달라진다. 예컨대 Tustin 변환 기준으로 “왼쪽 반평면의 한 지점”이 $z$평면에 매핑된 좌표는 연속시간에서 생각한 것과 약간 다른 주파수 응답 효과를 낼 수 있다. 그래서 실제 보상기를 튜닝할 때는, 디지털 도메인에서 직접 보드 선도나 나이퀴스트 선도를 확인해가며 세밀 조정한다.

#### 스펙트럼 분석기와 실측 주파수응답

이론 해석 외에, 실험적으로 시스템 주파수응답 함수를 추정할 수 있는 기법도 있다. 예를 들어, 공정이나 기계 시스템에 소신호(chirp 신호, Pseudo Random Binary Sequence 등)를 입력하고, 그 출력 스펙트럼을 측정하여 실측 주파수응답 $\hat{G}(j\omega)$를 얻는다. 이를 통해 모델링 오차나 비선형성의 영향을 간접적으로 확인할 수 있으며, 튜닝과정에서 실제 시스템 응답을 주파수 도메인에서 보정할 수 있다.

디지털 제어 시스템이라면, 입력 신호와 출력 신호를 동시에 샘플링하고, DFT나 FFT 기반의 스펙트럼 해석으로 전송함수 추정을 수행한다. 이후 추정된 $\hat{G}(j\omega)$ 곡선을 보드 선도 형태로 플롯한 뒤, 이론 모델 $G\_{\mathrm{model}}(j\omega)$와 비교하여 차이가 큰 구간에 대해서는 추가 보상기 설계나 모델 수정 작업을 거친다.

{% @mermaid/diagram content="flowchart TD
A\["시스템에 소신호 입력"] --> B\["센서로 출력 측정"]
B --> C\["FFT 스펙트럼 추정"]
C --> D\["\hat{G}(j\omega) 측정치 획득"]
D --> E\["모델 G(j\omega)와 비교"]
E --> F\["오차가 큰 구간 → 모델 보완 또는 보상기 재설계"]" %}

#### 반복 제어(Repetitive Control)와 학습 제어

주기적 외란이나 반복 작업 과정에서, 해당 주기 성분을 완전히 제거 혹은 추적하기 위해 반복 제어(Repetitive Control)나 학습 제어(Learning Control) 기법이 쓰인다. 이는 기본적으로 $e^{-jN\omega T\_s}$ 형태(디지털의 경우)나 $e^{-j \omega T}$ 형태(연속시간의 경우)로 나타나는 위상 요소가 루프에 피드백되며, 특정 주파수에서 크게 감쇠 혹은 증폭을 일으키는 구조를 설계하게 된다.

주파수 해석 관점에서 보면, 반복 제어 루프에선 $n$번째 주파수 배수(하모닉) 성분을 점진적으로 학습하여 오차를 줄인다. 이는 그 하모닉 주파수에서 매우 큰 이득(0위상)을 갖도록 보상기를 배치하는 것과 유사한 해석이 가능하다. 단, 실제 구현에서는 불안정해지지 않도록 위상 마진 확보와 필터링이 필수적이며, 정확한 주기 정보가 틀리거나 노이즈가 존재하면 고주파에서 오히려 오차가 커질 수 있다.

#### 모델 예측 제어(MPC)와 주파수 응답

모델 예측 제어(MPC)는 크게 시간영역 기반의 최적화 기법이지만, 결국 시스템 모델이 선형이거나 근사 선형이면, 그 내부에서는 시스템 전달함수를 활용한 미래 예측이 수행된다. MPC 파라미터(예: 예측 구간 길이, 조작 구간 길이, 가중 행렬 등)가 주파수 특성과 어떻게 맞물리는지 해석하려면, 시스템 반응이 어느 주파수 대역을 주요하게 다루고 있는지 살펴봐야 한다.

예컨대 예측 구간이 너무 짧으면 저주파 영역에서 충분한 응답 예측이 이뤄지지 않아 DC 성분에 대한 정확도나 정상상태 오차가 커질 가능성이 있다. 반면 예측 구간이 지나치게 길면, 고주파 잡음이나 모델 불일치에 민감해질 수 있다. 이처럼 MPC도 주파수영역적 사고방식으로 보완 분석이 가능하며, 특히 MIMO 공정에서 각 출력 간 상호작용을 최소화하기 위해 주파수 필터링 개념을 결합하기도 한다.

#### 결합진동(Coupled Oscillation)과 모달 해석

주파수 영역 해석은 기계적 혹은 물리적 구조물의 진동 문제를 다루는 데도 유용하다. 예를 들어, 긴 다리나 항공기 날개처럼 여러 자유도를 갖는 시스템은, 구조적 모드(mode)가 다수 존재하고 이 모드들이 서로 결합되어 있다. 이런 경우 모달 해석(modal analysis)을 통해 각 고유모드(고유주파수·감쇠비·모드형상)를 분해한 뒤, 주요 모드별 주파수응답을 살펴보는 전략을 취한다.

연속시간 계에서 상태방정식

$$
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A},\mathbf{x}(t) + \mathbf{B},\mathbf{u}(t)
\\
\mathbf{y}(t) &= \mathbf{C},\mathbf{x}(t)
\end{aligned}
$$

이 주어졌을 때, 행렬 $\mathbf{A}$의 고유치($\lambda\_i$) 및 고유벡터($\mathbf{v}*i$)를 구하면, 상태공간을 모드별로 분해할 수 있다. 이 고유치들이 주파수영역에서 $\lambda\_i = -\zeta\_i \omega*{ni} \pm j \omega\_{di}$ 형태로 나타나며, $\omega\_{ni}$는 고유진동수, $\zeta\_i$는 감쇠비, $\omega\_{di}$는 감쇠된 진동수로 해석된다.

이에 기반해 복잡한 구조물이라도, 특정 주파수 대역에서는 극소수의 모드가 지배적인 거동을 보이기 때문에, 고차의 MIMO 시스템이라도 일부 중요한 모드만을 집중 분석·제어할 수 있다. 주파수 응답 측면에서는 모드의 공진점(고주파에서 뾰족하게 크기가 치솟는 주파수)을 확인하고, 제어기나 댐퍼 등을 배치하여 감쇠를 강화하거나 진동을 줄이는 설계가 가능해진다.

#### 리크(Leak) 현상과 FFT 해석 시 주의점

실제 디지털 주파수 분석에서 FFT(Fast Fourier Transform)를 이용하면, 유한 길이의 신호 구간만 취급하므로 스펙트럼 리크(leakage) 현상이 발생할 수 있다. 이는 신호가 FFT 윈도우 구간 밖으로 확장되면서 부분단절(Truncation)되는 효과에 기인하며, 스펙트럼 전역에 걸쳐 작은 진폭 성분이 퍼져나오는 모습을 띠게 만든다.

이로 인해 주요 주파수를 정확히 파악하기 힘들거나, 인접 주파수성분과 구별하기 어려운 상황이 생길 수 있다. 이를 완화하기 위해 해닝(Hanning), 해밍(Hamming), 블랙맨(Blackman) 등 다양한 윈도잉(windowing) 함수를 적용해 신호를 FFT하기도 하고, 더 긴 관측 구간을 확보하거나 반복적으로 구간을 스캔하여 평균화(averaging) 기법을 쓴다.

제어 시스템에선, 이러한 실측 FFT로부터 주파수응답을 추정할 때, 표본화 간격이나 윈도우 설계가 잘못되면 실제와 다른 전송함수를 얻을 위험이 있다. 따라서 특별히 공진부근(피크가 예민하게 솟는 주파수 구간)이나 작은 진폭 신호를 다루는 구간에서 해석 정밀도를 높이기 위해 신중한 실험 설계가 필요하다.

#### 랜덤 입력을 활용한 주파수응답 추정

신호대역을 골고루 포함하는 랜덤 입력(예: 백색 잡음에 가까운 신호)을 시스템에 주입하면, 전 주파수대역에 걸쳐 해당 시스템의 응답을 비교적 균등하게 추정할 수 있다. Pseudo-Random Binary Sequence(PRBS)나 상관함수 기법 등이 대표적 예이다.

입력 $u(t)$가 랜덤 신호이고 출력 $y(t)$가 측정되면, 교차상관함수 $R\_{uy}(\tau)$와 자기상관함수 $R\_{uu}(\tau)$ 등을 이용해 주파수영역에서

$$
\hat{G}(j\omega) = \frac{S\_{uy}(j\omega)}{S\_{uu}(j\omega)}
$$

의 형태로 전송함수(스펙트럼 이득)를 추정할 수 있다. 여기서 $S\_{uy}(j\omega)$, $S\_{uu}(j\omega)$는 각각 입력-출력 교차스펙트럼, 입력 자기스펙트럼을 의미한다.

이때도 에일리어싱, 윈도우잉, 샘플링 시간 등에 따른 왜곡 가능성을 주의해야 하며, 신호 대역 제한 필터를 미리 적용하여 필요 주파수 구간만 집중 분석하는 방법이 널리 사용된다.

#### 세부 설계 예시 (C++ 예시 코드)

다음은 SISO 선형 시스템에서 간단한 PID 보상기를 적용하고, 특정 주파수 범위에 대해 보드 선도를 계산·출력해 보는 예시 코드를 C++로 제시한다. (실제 구현에서는 수치 안정성, 복소수 라이브러리, 그래프 라이브러리 등이 필요하지만, 여기서는 단순 개념 코드로 한정한다.)

```cpp
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <vector>

using namespace std;

// 전달함수 G(s) = 1/(s+1) 로 가정
// PID C(s) = Kp * (1 + 1/(Ti*s) + Td*s)
// s -> j*omega 대입

int main() {
    double Kp = 2.0;  // 비례 이득
    double Ti = 1.0;  // 적분 시간 상수
    double Td = 0.1;  // 미분 시간 상수
    double startFreq = 0.1;  // 주파수 시작
    double endFreq = 100.0;  // 주파수 끝
    int numPoints = 50;      // 점 개수

    double step = (log10(endFreq) - log10(startFreq)) / (numPoints - 1);
    
    cout << "freq, mag(dB), phase(deg)" << endl;

    for(int i = 0; i < numPoints; i++){
        double freq = pow(10.0, log10(startFreq) + step*i);
        complex<double> jomega(0, freq);

        // G(jomega) = 1/(jomega + 1)
        complex<double> G = 1.0 / (jomega + 1.0);

        // C(jomega) = Kp * (1 + 1/(Ti*jomega) + Td*jomega)
        // 주의: 1/(jomega)는 1.0/jomega 형태
        complex<double> C = Kp * (1.0 + 1.0/(Ti*jomega) + Td*jomega);

        // 개루프 전달함수 L(jomega) = C(jomega)*G(jomega)
        complex<double> L = C * G;

        // 크기(dB)
        double mag = 20.0 * log10(abs(L));
        // 위상(도)
        double ph  = arg(L) * 180.0 / M_PI;

        cout << freq << ", " << mag << ", " << ph << endl;
    }
    
    return 0;
}
```

위 코드에서 `freq`는 로그 스케일로 변화시키며 0.1Hz부터 100Hz 사이의 점들을 찍고, 각 점에서의 개루프 전달함수 L(jω)L(j\omega)의 크기와 위상을 콘솔에 출력한다. 이후 이 데이터를 그래프 툴(엑셀, 매트랩, 파이썬 등)로 플롯하면 보드 선도를 시각적으로 확인할 수 있다. 실제 산업 제어 시스템 설계에서는 이런 식으로 전송함수를 계산하고, 필요한 주파수대역별로 궤환 특성을 조정해가며 튜닝한다.

#### 정리: 주파수 도메인 사유의 중요성

• 선형 시스템에서는 시간영역에서 복잡해 보이는 미분방정식이 주파수영역으로 옮기면 간단한 대수적 형태가 되어 해석과 설계가 쉽다. • MIMO, 불확실성, 비선형 근사, 디지털화 등 제약이 많아져도, 기본적인 주파수응답 접근은 제어 이론에서 빠질 수 없는 핵심 도구다. • 실제 시스템에 대한 스펙트럼 측정, FFT 분석, 랜덤 신호 주입 등 실험 기법을 결합하면 모델링 정확도를 높이고, 튜닝 과정을 가속할 수 있다. • 이론적 해석과 함께 실험적 확인(시뮬레이션, 프로토타입 테스트)을 병행하여, 설계 사양 충족 여부 및 안전 여유(안정도)를 최종 검증한다.