# 전개식 비교와 다항식 나눗셈 활용

#### 전개식 비교를 통한 분수 식 분해의 기본 구상

라플라스 역변환을 효율적으로 수행하기 위해서는 보통 유리함수 형태의 변환식을 부분 분수로 분해하는 전략이 자주 활용된다. 일반적으로 라플라스 변환식이

$$
F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)}
$$

와 같은 꼴로 주어졌을 때, 분모 다항식 $Q(s)$가 $s$에 대한 일차 혹은 이차 인수로 적절히 인수분해가 가능하다면, 각 인수에 대응하는 항으로 식을 전개하여 역변환을 취할 수 있다. 이를 위해 가장 먼저 분모 $Q(s)$가 분해 가능한지 확인하고, 그 뒤 분자가 분모보다 차수가 낮은지 혹은 높은지 점검한다. 만일 분자의 차수가 분모의 차수 이상이라면, 다항식 나눗셈을 선행하여 표현식을 간단한 형태로 변환해야 한다.

전개식 비교 기법은 분할된 항들의 계수를 직접 비교하는 방식으로 활용된다. 예를 들어

$$
\frac{s^2 + 3s + 2}{s(s+1)(s+2)}
$$

와 같은 식을 생각해 보면, 분모 $s(s+1)(s+2)$를 기준으로 부분 분수 전개를 시도할 수 있다. 이때

$$
\frac{s^2 + 3s + 2}{s(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s+2}
$$

와 같이 가정하고, 통분 후 계수를 비교하는 방식으로 $A, B, C$를 구한다. 즉

$$
s^2 + 3s + 2 = A(s+1)(s+2) + B,s(s+2) + C,s(s+1)
$$

로 표현되며, 이를 전개한 뒤 $s^2$, $s^1$, $s^0$ 항에 대해 계수를 비교한다.

#### 계수 비교의 세부 절차

계수 비교는 전개식의 각 항이 일치해야 한다는 사실에 근거한다. 위 식을 전개하면

$$
\begin{aligned} A(s+1)(s+2) &= A(s^2 + 3s + 2),\ B,s(s+2) &= B(s^2 + 2s),\ C,s(s+1) &= C(s^2 + s). \end{aligned}
$$

그러므로

$$
A(s^2 + 3s + 2) + B(s^2 + 2s) + C(s^2 + s) = s^2 + 3s + 2
$$

가 된다. 이제 $s^2$ 항, $s^1$ 항, 상수항의 계수를 각각 모아서 합쳐 보면

$$
(s^2)\text{계수}: A + B + C,
\\
(s^1)\text{계수}: 3A + 2B + C,
\\
(s^0)\text{계수}: 2A.
$$

이들이 각각 1, 3, 2라는 값을 만족해야 한다. 즉 다음의 연립방정식을 푸는 것이 핵심이다.

$$
\begin{aligned} A + B + C &= 1,\ 3A + 2B + C &= 3,\ 2A &= 2. \end{aligned}
$$

이로부터 $A=1$, $2B+C=0$, $3+2B+C=3$ 등의 방식으로 순차적으로 값을 구해나가면, 부분 분수 식의 각 계수가 결정된다.

#### 분자의 차수가 분모와 같거나 클 때의 다항식 나눗셈

다항식 나눗셈은 분수 표현에서 분자의 차수가 분모보다 크거나 같은 경우에 필수적으로 수행해야 하는 절차이다. 예를 들어

$$
\frac{s^3 + 2s^2 + 1}{s(s+1)}
$$

와 같은 식이 있다면, 먼저 다항식 나눗셈을 통해 차수를 낮추어야 한다. 일반적인 나눗셈 알고리즘에 따라

$$
\frac{s^3 + 2s^2 + 1}{s(s+1)} = \frac{s^3 + 2s^2 + 1}{s^2 + s}
$$

가 되며, 여기서 $s^3 + 2s^2$ 항을 기준으로 먼저 $s$를 꺼내어 곱해 가며 나눈다. 그렇게 하면 몫이 $s+1$ 꼴로 나오고, 나머지가 $-s + 1$ 꼴로 정리될 수 있다. 즉

$$
s^3 + 2s^2 + 1 = (s+1)(s^2 + s) + (-s + 1),
$$

따라서

$$
\frac{s^3 + 2s^2 + 1}{s(s+1)} = s + 1 + \frac{-s + 1}{s(s+1)}.
$$

마지막 항은 부분 분수 분해의 표준 형태가 되므로, 이후에 전개식 비교를 통해 계수를 찾고, 라플라스 역변환 표에 대응하여 역변환을 수행할 수 있다.

#### 다항식 나눗셈의 직관적 활용

다항식 나눗셈 과정은 복잡해 보이지만, 결국 라플라스 역변환 시에는 식을 단순화하기 위해 거치는 중간 단계로 이해할 수 있다. 유리함수 $\frac{P(s)}{Q(s)}$에서 $\deg(P) \ge \deg(Q)$인 경우, 우선 $P(s)$를 $Q(s)$로 나눈 뒤 몫과 나머지를 분리한다. 몫은 다항식이 되어, 그 자체로 쉽게 역변환 가능한 항(델타 함수와 같은 분포를 유도하거나, $t^n$ 형태 등)으로 해석될 수도 있다. 나머지 항은 $\deg(\text{나머지}) < \deg(Q)$가 되므로, 그 부분을 다시 분수 분해하는 절차가 수월해진다.

#### 인수의 중복도 고려

분모가 $(s+a)^m$처럼 중복 인수를 가질 때에는 보통

$$
\frac{P(s)}{(s+a)^m} = \frac{A\_1}{(s+a)} + \frac{A\_2}{(s+a)^2} + \cdots + \frac{A\_m}{(s+a)^m}
$$

와 같이 전개해야 한다. 다항식 나눗셈을 거친 이후에도 동일하게 중복 인수를 고려하여 전개 항을 구성하고, 계수 비교로 $A\_1, A\_2, \dots, A\_m$을 결정한다. 이 과정 역시 전개식 비교와 다항식 나눗셈이라는 동일한 틀 안에서 가능하며, 단지 항 개수가 많아질 뿐이다.

전개식 비교와 다항식 나눗셈을 잘 활용하면 더 복잡한 형태의 역변환 문제도 체계적으로 접근할 수 있다. 고차 방정식 형태의 분모 구조를 가진 라플라스 변환식을 다룰 때에도 마찬가지로 유용하다. 분모를 가능한 한 인수분해하여 간단화한 뒤, 분자가 그보다 낮은 차수를 갖도록 미리 정리하면 역변환 공식을 효율적으로 적용할 수 있다.

#### 복잡 계수의 분모 구조와 부분 분수 전개

분모가 단순 일차 혹은 이차 인수로만 이루어진 경우는 전개식 비교 기법이 간단하게 적용되지만, 실제로는 보다 복잡한 형태의 분모를 만나기도 한다. 예를 들어 분모가

$$
(s+3)^2 (s+1) (s^2 + 4s + 5)
$$

와 같이 중복된 실근 $(s+3)^2$와 일차 근 $(s+1)$, 그리고 인수분해 불가능한 이차 인수 $(s^2 + 4s + 5)$가 섞인 형태로 나타날 수 있다. 이 경우에 부분 분수 전개는 일반적으로

$$
\frac{P(s)}{(s+3)^2 (s+1) (s^2 + 4s + 5)}  = \frac{A}{s+3} + \frac{B}{(s+3)^2} + \frac{C}{s+1} + \frac{Ds + E}{s^2 + 4s + 5}
$$

와 같은 꼴이 된다. 여기서 $A, B, C, D, E$를 모두 결정하기 위해, 식 양변을 통분하고 계수를 비교하는 것이 전개식 비교 기법의 기본이다.

여기서 주목해야 할 점은, $(s^2 + 4s + 5)$처럼 실수 영역에서 인수분해가 불가능한 이차 인수에 대해서는 분자의 형태가 $Ds + E$와 같이 일차가 된다는 것이다. 이차 인수를 포함한 부분 분수를 전개할 때는, 해당 이차식의 차수보다 하나 낮은 형태인 1차식이 분자로 오도록 설정하면 일반성을 잃지 않는다.

#### Heaviside의 'cover-up' 방법과 계수 비교

전개식 비교와 계수 비교를 효율적으로 하는 한 가지 방법으로, Heaviside의 'cover-up' 방법이 자주 거론된다. 예컨대

$$
\frac{P(s)}{(s+2)(s+3)}
$$

와 같은 간단한 형태에서, $\frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+3}$ 꼴로 분해하려고 할 때, $A$를 구하기 위해서는

$$
A = \left.\frac{P(s)}{s+3}\right|\_{s=-2},
$$

$B$를 구하기 위해서는

$$
B = \left.\frac{P(s)}{s+2}\right|\_{s=-3}.
$$

와 같이, 분모에서 관련된 인수를 제거하고 해당되는 $s$ 값을 대입함으로써 쉽게 항의 계수를 얻을 수 있다. 그러나 이러한 cover-up 방법은 $(s+a)^m$처럼 중복 인수를 가질 때는 적용이 곤란해지고, 또한 이차 이상의 복잡한 인수가 존재할 경우에는 바로 쓰기가 어려울 수 있다. 결국 일반적인 경우에는 전개식 비교, 즉 항을 전부 전개하여 모든 계수를 비교하는 전략이 필연적이다.

#### 다항식 나눗셈 후에 cover-up 방법 활용

분자의 차수가 분모보다 높을 때 다항식 나눗셈을 먼저 시행한 뒤, 남은 분수 부분을 cover-up 방법으로 계산하는 조합적 방식도 가능하다. 예를 들어

$$
\frac{s^4 + 2s^3 + 3}{(s+1)^2 (s^2 + 4)}
$$

와 같은 분수에서, 분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같으므로, 우선 다항식 나눗셈을 진행한다. 나머지 항이 $\deg(\text{나머지}) < \deg(\text{분모})$가 된 뒤, cover-up 방법으로 나머지 항을 빠르게 분해할 수 있다.

하지만 중복 근이 있으면 cover-up 공식을 단독으로 적용하기가 곤란해지므로, 필요한 경우에는 전개식 비교 방식을 곁들여야 한다. 즉, 다항식 나눗셈으로 전체 식을 $(\text{다항식}) + \frac{\text{나머지}}{\text{분모}}$ 형태로 분리한 뒤, 남은 유리함수를 다시

$$
\frac{P^\*(s)}{(s+1)^2 (s^2 + 4)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{(s+1)^2} + \frac{Cs + D}{s^2 + 4}
$$

와 같은 꼴로 전개한다. 그다음에 Heaviside cover-up 법칙을 적용할 수 있는 항부터 먼저 구하고, 그 과정에서 구하기 어려운 항이 있으면 다시 전개식 비교로 보완한다.

#### 적분 정리와 비교하는 방법

라플라스 역변환에는 복소해석학을 통한 Bromwich 적분 공식 역시 존재한다. 그러나 보통 대부분의 공학 문제에서, 실제 계산은 부분 분수 분해를 통해 수행되는 것이 훨씬 더 실용적이다. Bromwich 적분을 직관적으로 활용하는 경우에도, 결국 핵심 단계는 유리함수의 극(폴)과 잔여(residue)를 파악하는 것이다. residue를 구할 때 역시 분수의 전개 형태를 알아야 하며, 이는 본질적으로 부분 분수 분해 기법과 궤를 같이한다.

실제로 복소해석학에서 residue 계산 시, 분모가 중복근을 가지면 특별한 형태의 유도 과정이 필요하다. 부분 분수 전개에서 $(s+2)^2$ 꼴처럼 중복 인수를 가진 항에 대해서

$$
\frac{A}{s+2} + \frac{B}{(s+2)^2}
$$

가 나타나는 것은, residue 계산에서도 1차 극인지, 2차 극인지에 따라 잔여의 공식이 달라지는 것과 같은 이치다. 따라서 전개식 비교 혹은 다항식 나눗셈을 충분히 숙지해 두면, 복소해석학을 이용한 라플라스 역변환 해석도 한층 편리해진다.

#### 예시: 중복근과 이차 인수를 함께 갖는 분모

중복근 $(s+a)^2$와 실수영역에서 인수분해 불가능한 이차식 $(s^2 + bs + c)$이 섞여 있는 예시를 하나 더 들어 보자. 가령

$$
\frac{s^3 + 2s^2 + 4s + 7}{(s+1)^2 (s^2 + 1)}
$$

이 주어졌다면, 우선 분자의 차수 $\deg(P)=3$와 분모의 차수 $\deg(Q)=4$를 비교한다. 이 경우 $\deg(P) < \deg(Q)$이므로 다항식 나눗셈은 필요 없다. 다음 단계는 부분 분수 전개를 설정하는 것이다.

$$
\frac{s^3 + 2s^2 + 4s + 7}{(s+1)^2 (s^2 + 1)}  = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{(s+1)^2} + \frac{Cs + D}{s^2 + 1}.
$$

이 식에 대해 통분하여

$$
s^3 + 2s^2 + 4s + 7 =  A(s+1)(s^2 + 1) + B(s^2 + 1) + (Cs + D)(s+1)^2
$$

와 같이 쓸 수 있다. 그다음에는 $A, B, C, D$를 구하기 위해 전개 후 계수를 비교한다. 이때 $(s+1)^2$를 확장할 때

$$
(s+1)^2 = s^2 + 2s + 1
$$

이므로,

$$
(Cs + D)(s+1)^2 = (Cs + D)(s^2 + 2s + 1)
$$

을 전개해 필요한 항을 정확히 추적해야 한다. 이렇게 구한 $A, B, C, D$를 바탕으로 식을 완성하면, 라플라스 역변환 표를 이용하여 각 항에 대한 역변환을 쉽게 수행할 수 있다.

#### 다항식 나눗셈과 전개식 비교의 활용 범위

이처럼 부분 분수 분해는 단순한 유리함수 형태에서 시작하여, 중복근, 이차 인수, 고차 인수 등 각종 상황에 폭넓게 적용된다. 그 어떤 형태의 라플라스 변환식이 주어져도, 분모와 분자의 차수를 비교한 뒤, 필요하면 다항식 나눗셈을 통해 차수를 낮추고, 이어서 전개식 비교 기법을 통해 부분 분수의 계수를 확정하는 일련의 과정은 표준 해법에 가깝다고 할 수 있다. 그만큼 공학 전반에서 활용도가 높고, 다른 해석적 역변환 기법(예: Bromwich 적분)에 비해 계산 과정이 체계적으로 정리된다는 장점이 있다.

#### 실수 영역과 복소 영역에서의 인수분해 차이

라플라스 변환에서 분모 다항식을 인수분해할 때, 실제 계산은 실수 영역을 기준으로 이루어지는 경우가 많다. 이때 $(s^2 + 1)$, $(s^2 + 4)$과 같이 실수 계수를 갖는 이차식이 더 이상 인수분해되지 않는 형태로 남곤 한다. 그러나 복소 영역에서는

$$
s^2 + 4s + 5 = (s + 2 - i)(s + 2 + i)
$$

와 같은 방식으로 인수분해가 가능하다. 역변환을 완전하게 이해하기 위해서는 복소 영역에서의 분해 형태도 염두에 두어야 하지만, 실제로 공학 응용에서는 실수 영역의 부분 분수 전개를 기준으로 각 항에 대한 역변환 표를 사용한다.

복소 근을 직접 쓰는 대신, 실수 영역에서 $(s^2 + as + b)$ 형태의 이차 인수는 분자의 차수를 1차 이하($Cs + D$)로 두어 전개한다. 그 결과,

$$
\frac{P(s)}{(s^2 + as + b)} \quad\longrightarrow\quad \frac{Cs + D}{s^2 + as + b}
$$

처럼 설정하며, 이를 통해 식 전체를 통분해서 계수를 비교한다. 이때 복소해석학으로 볼 때는 극점이 $s = \alpha \pm i\beta$ 형태로 존재하므로,

$$
s^2 + as + b = \left(s - \bigl(-\tfrac{a}{2} + i,\gamma\bigr)\right)\left(s - \bigl(-\tfrac{a}{2} - i,\gamma\bigr)\right)
$$

같이 나타날 수 있다. 그러나 공학적으로는 실수 계수 형태로 남겨두는 편이 역변환 표(예: $e^{-at}\sin(bt)$, $e^{-at}\cos(bt)$)에 맞추기에도 더 직관적이다.

#### 고차 다항식 분모의 전개 과정

분모가 $s$ 변수에 대한 3차, 4차 혹은 그 이상의 다항식 형태를 취할 때, 먼저 분모를 가능한 한 인수분해하거나, 적어도 나눗셈과 중복근 고려 등을 통해 표준적인 부분 분수 형태로 전개한다. 예를 들어 4차 다항식 분모가

$$
(s+1)^2 (s^2 + s + 1)
$$

과 같이 주어지면, 부분 분수 전개 결과가

$$
\frac{P(s)}{(s+1)^2 (s^2 + s + 1)}  = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{(s+1)^2} + \frac{Cs + D}{s^2 + s + 1}
$$

처럼 정리된다. 만일 분자의 차수가 더 크다면, 다항식 나눗셈을 한 번 거쳐

$$
\frac{P(s)}{Q(s)} = \text{(다항식)} + \frac{R(s)}{Q(s)}
$$

로 만든 뒤, $\deg(R(s)) < \deg(Q(s))$가 되면 위와 같은 전개를 적용한다.

중복근이 등장하는 예로 $(s+a)^m$이 있다면, 이를

$$
\frac{A\_1}{(s+a)} + \frac{A\_2}{(s+a)^2} + \cdots + \frac{A\_m}{(s+a)^m}
$$

처럼 쪼개어야 한다. 따라서 $(s+1)^2$, $(s+1)^3$ 등의 형태가 생기면, 각 항에 대응하는 분자상수가 달라져야 한다는 사실을 유념해야 한다.

#### 실제 예시에서의 전개 접근

어떤 시스템의 라플라스 변환 표현이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.

$$
Y(s) = \frac{s^4 + 5s^3 + 3s + 2}{(s+2)^3 (s^2 + 2s + 2)}.
$$

먼저 분자의 차수를 보면 4차이고, 분모는 $(s+2)^3$에 의한 3차와 $(s^2 + 2s + 2)$에 의한 2차를 합쳐 총 5차가 된다. 따라서 분자의 차수가 더 낮으므로, 여기서는 다항식 나눗셈을 수행하지 않아도 된다. 그 대신 부분 분수 전개는

$$
\frac{s^4 + 5s^3 + 3s + 2}{(s+2)^3 (s^2 + 2s + 2)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{(s+2)^2} + \frac{C}{(s+2)^3} + \frac{Ds + E}{s^2 + 2s + 2}
$$

와 같이 설정한다. 이후 전개식 비교로 $A, B, C, D, E$를 구하면 된다.

계수 비교를 하려면 양변을 통분하여

$$
s^4 + 5s^3 + 3s + 2 =  A,(s+2)^2(s^2 + 2s + 2) + B,(s+2)(s^2 + 2s + 2) + C,(s^2 + 2s + 2) + (Ds + E),(s+2)^3
$$

로 쓴 뒤, $(s+2)^2$, $(s+2)^3$, $(s^2 + 2s + 2)$ 등을 전개한 형태를 하나하나 비교해야 한다. 비록 번거롭지만, 이러한 세부 계산 과정을 통해 정확한 계수를 획득할 수 있다.

#### 복잡한 항의 계수 결정과 정리

전개식 비교 시, 각 항을 일일이 전개하다 보면 계산이 길어질 수 있다. 그러나 꾸준히 단계를 밟아가면, 결국 $A, B, C, D, E$에 대해

$$
\alpha\_1 A + \alpha\_2 B + \cdots + \alpha\_5 E = \beta\_1
$$

같은 형태의 연립방정식을 얻게 되고, 이를 풀이하면 계수를 구할 수 있다. 이렇게 구해진 $A, B, C, D, E$는 결국 라플라스 역변환 표의 기본 형태,

$$
\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{(s+a)^n}\right},  \quad \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{s}{s^2 + \omega^2}\right}, \quad \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s^2 + \omega^2}\right}
$$

등을 조합하여 최종 시간영역 해를 구성하는 열쇠가 된다.

다항식 나눗셈과 전개식 비교는 이러한 계산 과정의 뼈대를 이루는 절차다. 복잡해 보이지만, 문제의 종류가 달라져도 결국 반복되는 표준 규칙이므로, 라플라스 역변환을 체계적으로 다룰 때는 반드시 익혀두어야 한다.

#### 반복되는 이차 인수에 대한 고려

분모가 $(s^2 + \alpha s + \beta)^m$ 형태로 중복된 이차 인수를 갖는 경우도 존재한다. 실수 영역에서 인수분해가 불가능한 이차식이 중복되면, 부분 분수 전개는

$$
\frac{P(s)}{(s^2 + \alpha s + \beta)^m} = \frac{C\_1s + D\_1}{(s^2 + \alpha s + \beta)}  + \frac{C\_2s + D\_2}{(s^2 + \alpha s + \beta)^2} + \cdots + \frac{C\_ms + D\_m}{(s^2 + \alpha s + \beta)^m}
$$

와 같은 형태로 확장된다. 일반적으로 이차 인수가 $m$차 중복이라면, 각 항의 분자는 일차식($C\_is + D\_i$)이 되어야 한다. 이는 실수 영역에서 직접 인수분해가 어려운 복소근을 암묵적으로 고려한 결과이기도 하다.

이런 형태를 전개식 비교로 처리할 때, 중복 차수 $m$만큼 항이 증가한다는 점에 유의해야 한다. 즉, 다항식 나눗셈 후 남은 분수에서 $(s^2 + \alpha s + \beta)^m$이 분모로 주어지면, 분자 계수의 총 개수는 $2m$ 개가 된다. 이를 $(s+1)^m$ 등의 실근 중복 상황과 혼합해서 갖고 있을 수도 있고, 별도의 일차 인수를 함께 포함하고 있을 수도 있으므로, 각 항을 꼼꼼히 설정해 통분하고 계수를 비교해야 한다.

#### 실근과 복소근이 혼합된 예시

예시로 다음과 같은 표현을 생각해 보자.

$$
G(s) = \frac{3s^4 + s^3 + 2s^2 + 5s + 7}{(s+2)(s^2 + 1)^2}.
$$

분모를 보면, $s+2$라는 실근과 $(s^2 + 1)^2$라는 중복 이차 인수가 섞여 있다. 먼저 분자의 차수가 4차이고, 분모의 차수는 $(s+2)$로 1차, $(s^2+1)^2$로 4차, 합 5차이므로, $\deg(\text{분자}) < \deg(\text{분모})$이다. 다항식 나눗셈은 필요 없으며, 바로 부분 분수 전개를 시도한다. 이때 전개 형태는

$$
\frac{3s^4 + s^3 + 2s^2 + 5s + 7}{(s+2)(s^2 + 1)^2} = \frac{A}{s+2} + \frac{Bs + C}{s^2 + 1} + \frac{Ds + E}{(s^2 + 1)^2}.
$$

여기서 $A, B, C, D, E$ 모두를 결정하기 위해 양변을 통분한 뒤 전개식을 비교하면 된다. 통분 후 식은

$$
3s^4 + s^3 + 2s^2 + 5s + 7  =  A(s^2 + 1)^2 + (Bs + C)(s+2)(s^2 + 1) + (Ds + E)(s+2).
$$

계수 비교는 $(s^2 + 1)^2 = s^4 + 2s^2 + 1$ 등의 전개식을 기반으로 꼼꼼히 수행해야 한다. 복잡해 보이지만, 각 항을 일렬로 전개하고, $s^4$, $s^3$, $s^2$, $s^1$, 상수항 순으로 계수를 일치시키는 알고리즘은 크게 달라지지 않는다.

#### 고급 예: 실근의 중복과 복소근의 중복이 한꺼번에 있는 경우

실근이 여러 번 중복되고, 동시에 복소근에 해당하는 이차식도 중복되어 혼재하는 상황을 상정해 볼 수도 있다. 예를 들어

$$
\frac{P(s)}{(s+1)^2 ,(s+3)^2 ,(s^2 + 1)^3}
$$

처럼, 두 실근 $(s+1), (s+3)$가 각각 2차 중복이고, $(s^2 + 1)$이 3차 중복인 복합적인 분모 구조를 갖는 식이 있을 수 있다. 이를 부분 분수로 전개하려면

$$
\frac{P(s)}{(s+1)^2 ,(s+3)^2 ,(s^2 + 1)^3} = \frac{A\_1}{s+1} + \frac{A\_2}{(s+1)^2} + \frac{B\_1}{s+3} + \frac{B\_2}{(s+3)^2} + \sum\_{k=1}^{3} \frac{C\_{k,1} s + C\_{k,2}}{(s^2 + 1)^k}
$$

같은 방식으로 항을 나누어야 한다. $A\_1, A\_2, B\_1, B\_2$와 $C\_{k,1}, C\_{k,2}$를 모두 전개식 비교로 구해야 하므로 계수가 매우 많아지지만, 과정 자체는 동일하다. 먼저 분자의 차수와 분모의 차수를 비교하고, 필요하다면 다항식 나눗셈을 시행한다. 그 뒤, 통분한 전개식을 만들어 각 항에 대한 계수를 비교하는 스텝을 차근차근 밟으면 된다.

#### 점진적인 분해 과정의 이점

이처럼 분모가 복잡해질수록 전개식 비교가 부담스럽긴 하지만, 오히려 단계별로 분할하여 문제를 해결할 수도 있다. 예를 들어

$$
\frac{P(s)}{(s+1)^2 (s^2 + 1)}
$$

이 있고, $(s+1)^2$ 항과 $(s^2+1)$ 항이 곱으로 존재한다면, 먼저

$$
\frac{P(s)}{(s+1)^2 (s^2 + 1)} = \frac{R(s)}{(s+1)^2} \cdot \frac{1}{(s^2+1)}
$$

와 같은 단계를 거쳐, $\frac{R(s)}{(s+1)^2}$ 항에 관한 계수를 어느 정도 파악한 뒤, 남은 부분을 $(s^2 + 1)$로 분해하는 식으로 진행할 수도 있다. 다만, 이 방법은 분배법칙으로 인해 다시 합쳐야 하는 번거로움이 있을 수 있으므로, 실전에서는 바로 통분 후 전개식을 비교하는 것이 일반적이다.

#### 부분 분수 분해에 따른 역변환 계산

결국 이렇게 구한 부분 분수 항들은 라플라스 역변환 표에 따라 직접 시간영역 함수로 대응된다. 예컨대 실근의 중복 항 $\frac{1}{(s+a)^n}$은 $t^{n-1} e^{-a t}/(n-1)!$ 형태로, 이차 항 $\frac{Cs + D}{s^2 + \omega^2}$는 $C \cos(\omega t) + D \frac{\sin(\omega t)}{\omega}$ 꼴로 역변환된다. 따라서 다항식 나눗셈과 전개식 비교로 얻어낸 계수들은, 곧바로 실제 해석(미분방정식 해, 시스템 응답 해석 등)에 필요한 시간영역 표현을 결정하는 핵심 열쇠가 된다.

이렇듯, 라플라스 역변환에서 핵심적 위치를 차지하는 전개식 비교와 다항식 나눗셈 기법은, 단순 일차 인수만 있는 경우부터 복잡하게 중복된 고차 인수까지 일관되게 적용 가능한 범용 도구라고 할 수 있다.

#### 단계적 접근과 메소드적 관점

라플라스 변환에서 부분 분수 분해는 곧 단순한 분모 다항식의 인수분해와 계수 비교를 의미하는 것처럼 보이지만, 실제로는 반복되는 연산 과정을 정리한 알고리즘적 접근이다. 먼저 분자의 차수와 분모의 차수를 비교하여 필요하다면 다항식 나눗셈을 시행하고, 그다음 적절히 인수분해한 분모 구조에 따라 부분 분수 항을 설정한 뒤 계수를 풀어내는 일련의 흐름은 다음과 같이 요약될 수 있다.

{% @mermaid/diagram content="graph LR
A((분자의 차수 ≥ 분모의 차수)) --> B\[다항식 나눗셈 수행]
B --> C\[차수 낮춘 유리함수 획득]
C --> D\[부분 분수 전개 및 계수 비교]
D --> E\[역변환 표에 맞추어 최종 해 도출]" %}

라플라스 역변환 과정이 궁극적 목표라면, 위의 흐름을 착실히 따라가는 것만으로도 대부분의 유리함수 형태를 문제없이 역변환할 수 있다. 계수 비교 방식 자체는 언제나 동일하며, 중복근의 존재나 복소근(실수 영역에서 인수분해가 되지 않는 이차 인수)의 존재는 단지 분할해야 하는 항의 개수를 늘린다.

#### 다항식 나눗셈의 유도 관점

다항식 나눗셈은 분자의 차수가 분모보다 크거나 같을 때, 유리함수를 다항식 부분과 그보다 차수가 낮은 분수 부분으로 나누는 데 사용된다. 이 과정을 통해 얻어지는 다항식 부분은 시간 영역에서 주로 지수 혹은 다항식 형태(또는 델타 함수 등)로 직접 해석될 수 있으며, 나머지 분수 부분은 정상적인 부분 분수 분해 절차가 적용 가능해진다.

예시로

$$
\frac{s^4 + 3s^3 - s^2 + 2}{(s+1)(s^2 + 1)}
$$

같은 식이 주어졌을 때, 분자의 차수가 4차, 분모의 차수는 3차이므로 다항식 나눗셈을 먼저 고려한다. 실제 나눗셈 과정을 써내려가면

$$
\frac{s^4 + 3s^3 - s^2 + 2}{(s+1)(s^2 + 1)} = s + 2 + \frac{-3s + 2}{(s+1)(s^2 + 1)},
$$

와 같은 결과가 나올 수도 있다. 이렇게 나머지 항 $-3s + 2$의 차수가 분모보다 낮으면, 이후 표준적인 부분 분수 전개를 수행하기가 한결 쉬워진다.

#### 부분 분수 항별 계수 결정

전개식 비교는 본질적으로 ‘식 양변의 동일성을 모든 $s$에 대해 만족시키기 위해 각 항의 계수가 일치해야 한다’는 점에 기반한다. 통분 과정에서 모든 항을 전개하고, $s^n$, $s^{n-1}$, …, $s^0$에 이르는 항들을 각각 모아서 등식이 성립하도록 계수들을 비교한다. 이때 계수가 매우 많아질 수 있지만, 차근차근 정리하면 연립방정식 형태로 수렴하게 된다.

비교적 규모가 큰 계수 문제라도, 결국은 선형 연립방정식을 푸는 일이므로, 해가 유일하게 정해지거나 혹은 특별한 파라미터 조건을 만족하는 방식으로 해결된다. 대부분의 실제 라플라스 변환 문제에서는 분모의 구조가 확정되어 있고, 분자의 차수 역시 제한적이므로, 이 연립방정식은 충분히 풀 수 있는 형태가 된다.

#### 구분 적분과 Bromwich 공식과의 연관성

때로는 Bromwich 적분 공식이나 복소해석학을 통해 라플라스 역변환을 수행할 수도 있다. 하지만 공학 실무나 문제 풀이에서는, 분모의 극(폴) 구조와 잔여(residue) 계산을 거치기보다는 부분 분수 전개 기법이 더욱 직관적이고 계산 과정이 명료하다. 부분 분수 분해로 계수가 확정된 뒤라면, 이미 표준 역변환 형태가 정해져 있으므로, 역변환 표를 참고하여 식을 빠르게 완성할 수 있다.

복소해석학에서 residue를 구하는 과정 역시, 결과적으로는 분수의 분자와 분모를 적절히 나눠서 극점에서의 계수를 산출하는 작업이다. 이때 중복 극이 있으면 1차 극과는 다른 공식이 사용된다. 부분 분수 분해에서 $(s+a)^m$처럼 항이 여러 번 중복되는 경우에 $\frac{A\_1}{(s+a)} + \cdots + \frac{A\_m}{(s+a)^m}$ 꼴이 등장하는 이유와 맞물린다. 따라서 잔여 기법을 알고 있으면 부분 분수 전개와의 연관성을 더욱 잘 이해하게 되지만, 실제 계산에서는 전개식 비교와 다항식 나눗셈으로도 충분히 문제를 풀 수 있다.

#### 추가 주의사항: 인수분해가 불가능한 다항식

특수한 상황에서, 분모가 인수분해가 거의 불가능에 가깝거나, 매우 고차의 복잡한 형태를 취할 수도 있다. 공학적으로 중요한 다항식은 대개 2차나 3차 범위에서 해결 가능하게 설정되어 있거나, 뉴턴 방법 등 수치적 근사법을 통해 근을 찾고 인수분해를 시도한다. 그 결과 도출된 실근 또는 복소근(이차 인수)들을 기반으로 부분 분수 전개를 마무리한다.

실제로는 수치 알고리즘에 의해 근을 구한 뒤, 그 근이 근사값이므로 분수 전개에서도 근사 계수로 계수 비교를 하게 되는 경우도 있다. 다만 교과서적으로 출제되는 문제나 이론적 해석이 필요한 상황에서는, 대개 깔끔하게 인수분해가 가능한 형태로 주어지므로, 전개식 비교가 손쉽게 적용된다.

#### 추후 전개

다항식 나눗셈과 전개식 비교 기법은 라플라스 역변환의 전 과정에 있어 핵심 역할을 담당한다. 이후 절에서는, 이렇게 분해된 각 항을 구체적으로 어떻게 역변환 표에 대입하고, 복잡한 중첩 적분(Convolution)이나 지연(Shifting) 등 추가 가공이 필요한 형태를 어떻게 처리하는지도 함께 살펴보게 될 것이다.

#### 복잡한 관점: 초기치 문제와 분수 전개

선형 미분방정식의 해를 라플라스 변환으로 구할 때, 초기치가 주어지면 방정식을 변환한 뒤 대입하여 $Y(s)$ 형태의 해를 구하게 된다. 이때 $Y(s)$는 흔히 $\frac{P(s)}{Q(s)}$ 꼴의 유리함수가 되며, 이를 부분 분수로 전개해야 시간영역에서 $y(t)$를 얻게 된다. 예컨대 $n$차 미분방정식을 다루면 보통 $Q(s)$가 $n$차 다항식이 되어, 그 근(폴)들을 찾아 내는 과정이 필연적이다. 이때 반복되는 규칙은 다음과 같이 요약된다.

1. $\deg(P) \ge \deg(Q)$이면, 먼저 다항식 나눗셈을 통해 $\deg(\text{나머지}) < \deg(Q)$ 상태를 만든다.
2. 분모 $Q(s)$를 가능한 범위에서 인수분해(실근, 중복근, 복소근) 하되, 실수 영역에서 불가분인 이차항은 그대로 둔다.
3. 실제 분수 전개 시, 일차 인수 $(s+a)^m$는 $m$개의 항을, 실수 불가분 이차인수 $(s^2 + \alpha s + \beta)^m$는 그 차수(2)보다 하나 낮은 일차 꼴 분자를 $m$개의 항으로 나누어 제시한다.
4. 통분 후 계수 비교를 통해 각 항의 상수를 구한다.

이 흐름은 비단 초기치 문제에만 국한되지 않으며, 임의의 선형시불변(LTI) 시스템 해석, 전기회로 해석, 제어계 설계 등 다양한 공학 문제에 동일하게 적용된다.

#### 시스템 함수 표현과 부분 분수

시스템 함수 $H(s)$ 또는 전달함수 $G(s)$가 유리함수 형태로 주어졌을 때도, 위 방식으로 전개식 비교와 다항식 나눗셈이 반복적으로 활용된다. 예를 들어 전자공학에서 2차 시스템이라면 분모가 $s^2 + 2\zeta\omega\_n s + \omega\_n^2$ 같은 꼴로 제시되지만, 시스템의 차수가 올라가거나 피드백 계통이 복잡해지면 중복근을 포함한 고차 다항식이 빈번히 나타난다. 그때마다 부분 분수 분해 과정을 거쳐, 각 항에 해당하는 물리적 의미(지수 감쇠 성분, 공진 성분, 등등)를 해석한다.

시스템 응답 해석 시, 실제로는 다항식 나눗셈으로부터 생기는 다항식 항이 시스템의 자유응답 혹은 외부 입력에 대한 특정 응답 형태를 나타내기도 한다. 예컨대 $\deg(P) - \deg(Q)$가 양수로 큰 값이라면, 시스템 출력에 폴리노미얼한(다항형) 성분이 섞여 있다는 것이므로, 실제 시계열 해석 시에는 비정상(non-stationary) 거동 혹은 적분·미분 연산의 누적 효과가 있음을 의미하기도 한다.

#### 비정상계(Non-proper System)와 다항식

다항식 나눗셈은 물리적으로 ‘비정상계(Non-proper System)인지 여부를 판정하는 도구’로도 해석할 수 있다. 공학에서 전형적으로

$$
G(s) = \frac{\text{출력 폴리노미얼}}{\text{입력 폴리노미얼}}
$$

형태의 전달함수를 볼 때, 분자의 차수가 분모 차수 이상이면 시불변, 인과성, 안정성 관점에서 문제가 발생하는 경우가 많다. 하지만 이론적·수학적으로는 다항식 나눗셈을 거쳐, 남은 유리함수를 정상계 형태로 만들고, 그 몫인 다항식 부분은 별도의 ‘직접 경로(direct path)’나 ‘미분입력 제어’ 같은 해석을 통해 의미를 부여할 수 있다.

이처럼 라플라스 변환에서의 전개식 비교와 다항식 나눗셈은 단순 계산 기법을 넘어, 물리 시스템의 구조적 특성을 파악하고 응답 해석을 분류하는 열쇠로도 쓰인다.

#### 다변수(다중입출력) 계통에서의 확장

본서는 단일 변수 $s$에 대한 라플라스 변환을 다루나, 실제 공학에서는 다중입출력(MIMO) 시스템을 해석할 때 전달함수를 행렬 형태로 취급하기도 한다. 이 경우, 각 행렬 원소가 유리함수이므로, 각각에 대해 동일한 부분 분수 분해 과정을 수행하면 된다. 결국 한 번 배운 전개식 비교와 다항식 나눗셈 기법을 행렬의 모든 원소에 적용하는 식이다. 계수 비교는 원소별로 이루어지지만, 전체 해석은 행렬 구조로 묶어 해석한다.

#### 수치적 근사 해법과의 연계

라플라스 변환 문제에서 분모가 고차 방정식이 되어, 심지어 해석적으로 인수분해가 쉽지 않은 경우도 있다. 이때는 수치적 근사법(예: 루스-후르비츠 판별법으로 극의 위치를 조사하거나, 다항 방정식 근사 해석 알고리즘)을 통해 근을 찾고, 근사값으로 인수분해한 뒤, 계수 비교로 이어질 수 있다. 부분 분수 전개 자체는 근이 정확하든 근삿값이든 상관없이 동일한 방식으로 진행된다.

이러한 접근은 복잡 계통에서 해를 닫힌 형태로 얻기 어려울 때 유용하며, 그 결과로 얻어진 부분 분수 항의 계수 역시 근사값을 취한다. 이후 역변환이나 시간응답 해석도 근사함수를 통해 진행된다. 수치적 방법이더라도, 큰 틀은 전개식 비교와 나눗셈 구조를 벗어나지 않는다.

\--- 코멘트

지금까지 살펴본 바와 같이, 라플라스 역변환을 위한 전개식 비교와 다항식 나눗셈은 일회성 스킬이 아니라 광범위한 문제 해결에 통용되는 핵심 기술이다. 간단한 1차·2차 문제에서부터 고차·중복근·복소근·비정상계 분석까지, 이 기법들을 숙달하면 라플라스 변환 문제에서 대다수의 해석 과정을 여유롭게 수행할 수 있게 된다. 이후 장들에서 소개할 합성정리(Convolution), 시간지연(Shifting), 미분방정식 초기치 문제와의 결합 역시 이 기본 과정 위에서 전개될 것이다.