# 부분 분수 분해를 통한 역변환

라플라스 변환의 역변환을 구하는 방법 중 하나는 **부분 분수 분해**를 활용하는 것이다. 주로 유리 함수 형태로 주어진 라플라스 변환 결과에 대해 유용하다. 이 방법을 사용하면 복잡한 유리 함수를 더 간단한 형태로 분해할 수 있으며, 각 항에 대해 이미 알려진 역 라플라스 변환을 쉽게 적용할 수 있다.

### 유리 함수의 형태

유리 함수는 다음과 같은 형태로 주어질 수 있다:

$$
F(s) = \frac{N(s)}{D(s)}
$$

여기서 $N(s)$는 분자의 다항식이고, $D(s)$는 분모의 다항식이다. 이 함수의 역 라플라스 변환을 구하려면, 먼저 $D(s)$를 가능한 한 단순한 인수로 분해해야 한다. 이를 통해 $F(s)$를 부분 분수의 합으로 나타낼 수 있다.

### 부분 분수 분해

부분 분수 분해는 다음과 같은 형태의 유리 함수를 더 단순한 분수의 합으로 나누는 과정이다:

$$
F(s) = \frac{N(s)}{(s - s\_1)(s - s\_2) \cdots (s - s\_n)}
$$

이때, 각 $s\_i$는 $D(s)$의 근(즉, 극점)이며, 이 유리 함수를 부분 분수로 분해하면 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다:

$$
F(s) = \frac{A\_1}{s - s\_1} + \frac{A\_2}{s - s\_2} + \cdots + \frac{A\_n}{s - s\_n}
$$

여기서 $A\_1, A\_2, \dots, A\_n$는 각각의 상수이다. 이러한 상수는 각 분수 항이 정확히 $F(s)$와 일치하도록 결정된다.

#### 예시 1: 단순 유리 함수의 부분 분수 분해

다음과 같은 간단한 예제를 고려해보자:

$$
F(s) = \frac{5s + 3}{(s - 1)(s + 2)}
$$

이 경우, 부분 분수 분해를 적용하면:

$$
F(s) = \frac{A\_1}{s - 1} + \frac{A\_2}{s + 2}
$$

이제 $A\_1$과 $A\_2$를 구하기 위해, 양변에 각각의 분모를 곱하여 다음과 같은 식을 얻는다:

$$
5s + 3 = A\_1(s + 2) + A\_2(s - 1)
$$

이를 단순화하면:

$$
5s + 3 = A\_1s + 2A\_1 + A\_2s - A\_2
$$

양변에서 $s$의 계수와 상수를 비교하여 다음의 두 방정식을 얻는다:

1. $A\_1 + A\_2 = 5$
2. $2A\_1 - A\_2 = 3$

이 두 연립 방정식을 풀면:

$$
A\_1 = 2, \quad A\_2 = 3
$$

따라서, 부분 분수 분해 결과는:

$$
F(s) = \frac{2}{s - 1} + \frac{3}{s + 2}
$$

이제 이 부분 분수 항들에 대해 각각의 역 라플라스 변환을 구할 수 있다. 예를 들어, $\frac{2}{s - 1}$의 역 라플라스 변환은 $2e^{t}$, $\frac{3}{s + 2}$의 역 라플라스 변환은 $3e^{-2t}$이다.

#### 예시 2: 중근을 포함한 부분 분수 분해

부분 분수 분해는 단순한 극점뿐만 아니라 **중근**을 포함하는 경우에도 적용된다. 예를 들어, 다음과 같은 유리 함수를 고려하자:

$$
F(s) = \frac{6s + 5}{(s - 1)^2(s + 3)}
$$

이 경우, 분모의 $(s - 1)^2$은 중근을 의미한다. 이때 부분 분수 분해는 다음과 같은 형태로 나타난다:

$$
F(s) = \frac{A\_1}{s - 1} + \frac{A\_2}{(s - 1)^2} + \frac{A\_3}{s + 3}
$$

이제 $A\_1, A\_2, A\_3$를 구하기 위해서, 양변에 분모를 곱해보자:

$$
6s + 5 = A\_1(s - 1)(s + 3) + A\_2(s + 3) + A\_3(s - 1)^2
$$

양변을 전개하면:

$$
6s + 5 = A\_1(s^2 + 2s - 3) + A\_2(s + 3) + A\_3(s^2 - 2s + 1)
$$

이를 정리하면:

$$
6s + 5 = (A\_1 + A\_3)s^2 + (2A\_1 - 2A\_3 + A\_2)s + (-3A\_1 + 3A\_2 + A\_3)
$$

이제 계수를 비교하여 다음의 세 방정식을 얻는다:

1. $A\_1 + A\_3 = 0$
2. $2A\_1 - 2A\_3 + A\_2 = 6$
3. $-3A\_1 + 3A\_2 + A\_3 = 5$

이 연립 방정식을 풀면:

$$
A\_1 = 1, \quad A\_2 = 4, \quad A\_3 = -1
$$

따라서, 부분 분수 분해 결과는:

$$
F(s) = \frac{1}{s - 1} + \frac{4}{(s - 1)^2} - \frac{1}{s + 3}
$$

이제 각 항에 대해 역 라플라스 변환을 적용할 수 있다. 예를 들어:

* $\frac{1}{s - 1}$의 역 라플라스 변환은 $e^t$,
* $\frac{4}{(s - 1)^2}$의 역 라플라스 변환은 $4te^t$,
* $\frac{-1}{s + 3}$의 역 라플라스 변환은 $-e^{-3t}$.

따라서, 전체 함수의 역 라플라스 변환은:

$$
f(t) = e^t + 4te^t - e^{-3t}
$$

#### 복소수 극점의 경우

복소수 극점을 갖는 유리 함수에 대해서도 부분 분수 분해를 적용할 수 있다. 예를 들어:

$$
F(s) = \frac{2s}{s^2 + 4}
$$

이 경우, $s^2 + 4$은 두 개의 복소수 극점 $s = \pm 2i$를 갖는다. 이러한 경우, 실수계수를 유지하기 위해 다음과 같이 분해할 수 있다:

$$
F(s) = \frac{A\_1 s + B\_1}{s^2 + 4}
$$

이때 $A\_1$과 $B\_1$를 계산하면:

$$
A\_1 = 2, \quad B\_1 = 0
$$

따라서, 역 라플라스 변환은:

$$
f(t) = 2 \cos(2t)
$$

#### 복잡한 인수 분해의 경우

때로는 다항식이 쉽게 인수분해되지 않거나, 고차 방정식의 해가 실수가 아닌 복잡한 복소수로 나타나는 경우도 있다. 이런 상황에서 역시 부분 분수 분해를 적용할 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 유리 함수를 고려하자:

$$
F(s) = \frac{3s^2 + 5s + 2}{(s + 1)(s^2 + 2s + 5)}
$$

분모가 $(s + 1)(s^2 + 2s + 5)$로 되어 있기 때문에, 이 식을 다음과 같은 형태로 분해한다:

$$
F(s) = \frac{A\_1}{s + 1} + \frac{A\_2s + B\_2}{s^2 + 2s + 5}
$$

여기서 $A\_1, A\_2, B\_2$는 상수이다. 이들을 구하기 위해 양변에 분모를 곱해보자:

$$
3s^2 + 5s + 2 = A\_1(s^2 + 2s + 5) + (A\_2s + B\_2)(s + 1)
$$

이를 전개하면:

$$
3s^2 + 5s + 2 = A\_1(s^2 + 2s + 5) + A\_2(s^2 + s) + B\_2(s + 1)
$$

이를 다시 정리하면:

$$
3s^2 + 5s + 2 = (A\_1 + A\_2)s^2 + (2A\_1 + A\_2 + B\_2)s + (5A\_1 + B\_2)
$$

이제 계수를 비교하여 다음의 세 방정식을 얻는다:

1. $A\_1 + A\_2 = 3$
2. $2A\_1 + A\_2 + B\_2 = 5$
3. $5A\_1 + B\_2 = 2$

이 세 방정식을 풀면:

$$
A\_1 = 1, \quad A\_2 = 2, \quad B\_2 = -3
$$

따라서 부분 분수 분해 결과는:

$$
F(s) = \frac{1}{s + 1} + \frac{2s - 3}{s^2 + 2s + 5}
$$

이제 각 항에 대해 역 라플라스 변환을 구할 수 있다:

* $\frac{1}{s + 1}$의 역 라플라스 변환은 $e^{-t}$,
* $\frac{2s - 3}{s^2 + 2s + 5}$는 $e^{-t} \left( 2 \cos(2t) - 7 \sin(2t) \right)$로 변환된다.

따라서, 전체 역 라플라스 변환은 다음과 같다:

$$
f(t) = e^{-t} + e^{-t}(2 \cos(2t) - 7 \sin(2t))
$$

### 실수와 복소수 근의 혼합

부분 분수 분해는 실수 근과 복소수 근을 동시에 포함하는 경우에도 유효하다. 예를 들어, $s$-평면에서 실수 근과 복소수 근을 갖는 유리 함수는 다음과 같이 나타날 수 있다:

$$
F(s) = \frac{5s + 7}{(s - 2)(s^2 + 4s + 13)}
$$

이 식을 부분 분수로 분해하면:

$$
F(s) = \frac{A\_1}{s - 2} + \frac{A\_2s + B\_2}{s^2 + 4s + 13}
$$

이때 $A\_1, A\_2, B\_2$는 각각 상수로, 위와 유사한 방식으로 계산할 수 있다. 여기서 $s^2 + 4s + 13$은 복소수 근을 갖는 2차 방정식이므로, 복소수의 역 라플라스 변환을 적용해야 한다.

#### 실수와 복소수 근을 포함한 예시

위에서 제시한 예제의 경우, $s^2 + 4s + 13$은 두 개의 복소수 근 $s = -2 \pm 3i$를 가진다. 먼저 이 유리 함수를 부분 분수로 분해하여 상수 $A\_1, A\_2, B\_2$를 구해야 한다:

$$
F(s) = \frac{5s + 7}{(s - 2)(s^2 + 4s + 13)} = \frac{A\_1}{s - 2} + \frac{A\_2s + B\_2}{s^2 + 4s + 13}
$$

이제 양변에 분모를 곱해보면:

$$
5s + 7 = A\_1(s^2 + 4s + 13) + (A\_2s + B\_2)(s - 2)
$$

이를 전개하면:

$$
5s + 7 = A\_1(s^2 + 4s + 13) + A\_2s(s - 2) + B\_2(s - 2)
$$

이 식을 다시 정리하면:

$$
5s + 7 = A\_1(s^2 + 4s + 13) + A\_2(s^2 - 2s) + B\_2(s - 2)
$$

그리고 이를 단순화하면:

$$
5s + 7 = (A\_1 + A\_2)s^2 + (4A\_1 - 2A\_2 + B\_2)s + (13A\_1 - 2B\_2)
$$

계수를 비교하여 다음의 세 방정식을 얻는다:

1. $A\_1 + A\_2 = 0$
2. $4A\_1 - 2A\_2 + B\_2 = 5$
3. $13A\_1 - 2B\_2 = 7$

이 연립 방정식을 풀면:

$$
A\_1 = 1, \quad A\_2 = -1, \quad B\_2 = -3
$$

따라서 부분 분수 분해 결과는:

$$
F(s) = \frac{1}{s - 2} + \frac{-s - 3}{s^2 + 4s + 13}
$$

이제 각 항에 대해 역 라플라스 변환을 구할 수 있다.

#### 첫 번째 항의 역 라플라스 변환

$$
\frac{1}{s - 2}
$$

이 항의 역 라플라스 변환은 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다:

$$
\mathcal{L}^{-1}\left{ \frac{1}{s - 2} \right} = e^{2t}
$$

#### 두 번째 항의 역 라플라스 변환

두 번째 항인 $\frac{-s - 3}{s^2 + 4s + 13}$은 복소수 근을 포함하는 2차 다항식을 다루고 있으므로, 다음과 같은 형식을 사용하여 계산한다. 우선, 다음과 같이 변형한다:

$$
\frac{-s - 3}{s^2 + 4s + 13} = \frac{-(s + 2) - 1}{(s + 2)^2 + 9}
$$

이 식은 다음과 같은 두 개의 항으로 나누어질 수 있다:

$$
\frac{-(s + 2)}{(s + 2)^2 + 9} - \frac{1}{(s + 2)^2 + 9}
$$

이제 각각의 항에 대해 역 라플라스 변환을 적용할 수 있다:

1. 첫 번째 항의 역 라플라스 변환은:

$$
\mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{-(s + 2)}{(s + 2)^2 + 9} \right} = -e^{-2t} \cos(3t)
$$

2. 두 번째 항의 역 라플라스 변환은:

$$
\mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{-1}{(s + 2)^2 + 9} \right} = -\frac{1}{3} e^{-2t} \sin(3t)
$$

#### 최종 결과

따라서 전체 역 라플라스 변환은 다음과 같이 나타난다:

$$
f(t) = e^{2t} - e^{-2t} \cos(3t) - \frac{1}{3} e^{-2t} \sin(3t)
$$

이것으로 복소수 근을 포함한 부분 분수 분해를 통한 역 라플라스 변환을 완료할 수 있다.