# 2D 및 3D 이동 변환

## 2D 이동 변환

2D 이동 변환에서는 일반적으로 점 $(x, y)$을 새로운 위치 $(x', y')$로 이동시키기 위해 이동 벡터 $(t\_x, t\_y)$를 사용한다. 이동 변환은 다음과 같은 행렬로 표현된다.

점 $(x, y)$와 이동 벡터 $(t\_x, t\_y)$를 이용하여 이동 변환을 적용하면 다음과 같이 된다:

$$
\mathbf{p'} = \mathbf{p} + \mathbf{t}
$$

이 식을 행렬 형태로 표현하면:

$$
\begin{bmatrix} x' \ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t\_x \ t\_y \end{bmatrix}
$$

동차좌표계를 사용하면 이동 변환은 3x3 행렬로 표현될 수 있다. 기본적인 동차좌표계로의 변환은 다음과 같다:

$$
\mathbf{P} = \begin{bmatrix} x \ y \ 1 \end{bmatrix}
$$

이를 이용한 이동 변환 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$$
\mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t\_x \ 0 & 1 & t\_y \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
$$

이 식을 통해 점 $\mathbf{P}$에 이동 변환을 적용하면 변환된 점 $\mathbf{P'}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$$
\mathbf{P'} = \mathbf{T} \mathbf{P} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t\_x \ 0 & 1 & t\_y \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t\_x \ y + t\_y \ 1 \end{bmatrix}
$$

## 3D 이동 변환

3D 이동 변환에서는 점 $(x, y, z)$을 새로운 위치 $(x', y', z')$로 이동시키기 위해 이동 벡터 $(t\_x, t\_y, t\_z)$를 사용한다. 3D 이동 변환은 다음과 같은 행렬로 표현된다.

점 $(x, y, z)$와 이동 벡터 $(t\_x, t\_y, t\_z)$를 이용하여 이동 변환을 적용하면 다음과 같이 된다:

$$
\mathbf{p'} = \mathbf{p} + \mathbf{t}
$$

이 식을 행렬 형태로 표현하면:

$$
\begin{bmatrix} x' \ y' \ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t\_x \ t\_y \ t\_z \end{bmatrix}
$$

동차좌표계를 사용하면 이동 변환은 4x4 행렬로 표현될 수 있다. 기본적인 동차좌표계로의 변환은 다음과 같다:

$$
\mathbf{P} = \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1 \end{bmatrix}
$$

이를 이용한 이동 변환 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$$
\mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t\_x \ 0 & 1 & 0 & t\_y \ 0 & 0 & 1 & t\_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
$$

이 식을 통해 점 $\mathbf{P}$에 이동 변환을 적용하면 변환된 점 $\mathbf{P'}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$$
\mathbf{P'} = \mathbf{T} \mathbf{P} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t\_x \ 0 & 1 & 0 & t\_y \ 0 & 0 & 1 & t\_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t\_x \ y + t\_y \ z + t\_z \ 1 \end{bmatrix}
$$