# 웨이블릿 변환 (Wavelet Transform)

#### 웨이블릿 변환의 개요

웨이블릿 변환(Wavelet Transform)은 신호를 분석하는 방법 중 하나로, 신호를 시간과 주파수 영역에서 동시에 분석할 수 있도록 해준다. 이는 푸리에 변환(Fourier Transform)이 주파수 영역에서 신호를 분석하는 것과 대조된다. 웨이블릿 변환은 다양한 스케일(scale)에서의 신호 변화를 포착할 수 있기 때문에 비정상(non-stationary) 신호나 시간에 따라 변화하는 주파수를 가진 신호를 분석하는 데 특히 유용하다.

웨이블릿은 기본적으로 시간과 주파수의 지역화(localization)를 동시에 제공하는 함수로, 이는 시간 축에서 제한된 범위 내에서 정의되며, 특정 스케일과 위치에서 신호를 분석할 수 있도록 한다. 이 웨이블릿 함수는 여러 스케일에서 축소 또는 확대될 수 있으며, 다양한 위치로 이동할 수 있다.

#### 웨이블릿 변환의 수학적 정의

웨이블릿 변환은 이산 웨이블릿 변환(Discrete Wavelet Transform, DWT)과 연속 웨이블릿 변환(Continuous Wavelet Transform, CWT)으로 나눌 수 있다. 먼저 연속 웨이블릿 변환에 대해 살펴보자.

연속 웨이블릿 변환은 다음과 같이 정의된다:

$$
W\_f(a, b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int\_{-\infty}^{\infty} f(t) \psi^\*\left(\frac{t-b}{a}\right) dt
$$

여기서 $ f(t) $는 분석하려는 신호, $ a $는 스케일, $ b $는 시간 이동 파라미터, $ \psi(t) $는 웨이블릿 함수(모함수, mother wavelet)이다. $ \psi^\*(t) $는 $ \psi(t) $의 복소 켤레를 나타낸다.

이산 웨이블릿 변환에서는 $ a $와 $ b $가 이산값을 가지며, 주로 2의 멱(power of two)인 dyadic scale을 사용한다. 이 경우 이산 웨이블릿 변환은 다음과 같이 표현된다:

$$
W\_f(j, k) = \frac{1}{\sqrt{2^j}} \sum\_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \psi^\*\left(\frac{n-2^j k}{2^j}\right)
$$

여기서 $ j $는 스케일 파라미터, $ k $는 시간 이동 파라미터를 나타낸다.

#### 웨이블릿 함수의 특성

웨이블릿 변환의 핵심은 웨이블릿 함수 $ \psi(t) $의 선택이다. 이 웨이블릿 함수는 여러 가지 특성을 가질 수 있으며, 그 특성에 따라 신호의 다양한 측면을 분석할 수 있다.

1. **시간과 주파수 지역화**: 웨이블릿 함수는 시간과 주파수 모두에서 지역화가 잘 되어 있어, 짧은 시간 동안 발생하는 신호의 변화를 포착하는 데 유리하다. 웨이블릿의 길이가 짧을수록 시간 지역화가 강하고, 길어질수록 주파수 지역화가 강화된다.
2. **직교성과 중첩성**: 일부 웨이블릿 함수는 직교성을 가지며, 이는 이산 웨이블릿 변환에서 중요한 역할을 한다. 직교 웨이블릿 함수는 서로 간섭하지 않으면서도 신호를 효율적으로 분해할 수 있다. 반면, 중첩 웨이블릿 함수는 더 부드럽게 신호를 분해할 수 있다.
3. **스케일러블함과 시프터블함**: 웨이블릿 함수는 스케일(확대 및 축소) 가능하며, 시간 축에서 이동 가능하다. 이로 인해 다양한 주파수 대역에서 신호를 분석할 수 있다.

#### 웨이블릿 계수의 해석

웨이블릿 변환의 결과로 얻어지는 웨이블릿 계수는 신호의 시간-주파수 특성을 나타낸다. 웨이블릿 계수는 특정 스케일과 위치에서 신호의 강도를 나타내며, 이를 통해 신호의 특정 구성 요소를 분석할 수 있다.

웨이블릿 계수는 신호의 에너지를 다양한 스케일로 분해하여 보여주며, 이를 통해 신호의 에너지 분포를 파악할 수 있다. 높은 스케일에서의 웨이블릿 계수는 신호의 저주파 성분을 나타내며, 낮은 스케일에서의 웨이블릿 계수는 고주파 성분을 나타낸다.

#### 모함수의 선택

모함수(mother wavelet)의 선택은 웨이블릿 변환의 결과에 큰 영향을 미친다. 신호의 특성에 따라 적합한 모함수를 선택해야 하며, 대표적인 모함수로는 Haar 웨이블릿, Daubechies 웨이블릿, Morlet 웨이블릿 등이 있다.

1. **Haar 웨이블릿**: 가장 간단한 형태의 웨이블릿으로, 직사각형 모양을 가지고 있다. 이산 웨이블릿 변환에서 많이 사용되며, 계산이 단순하다.
2. **Daubechies 웨이블릿**: 비직교 웨이블릿으로, 긴 필터 길이를 가지며, 신호를 부드럽게 분해할 수 있다. 신호의 매끄러운 변화를 포착하는 데 유리하다.
3. **Morlet 웨이블릿**: 가우시안 곱 사인파 형태로, 연속 웨이블릿 변환에서 많이 사용된다. 주로 주파수 분석에 적합하다.

#### 이산 웨이블릿 변환과 다중 해상도 분석

이산 웨이블릿 변환(DWT)은 다중 해상도 분석(Multiresolution Analysis, MRA)의 중요한 도구이다. 다중 해상도 분석은 신호를 다양한 해상도에서 분석하여, 신호의 세부 구조를 명확히 할 수 있게 해준다.

이산 웨이블릿 변환은 신호를 저주파 성분과 고주파 성분으로 분리하고, 이 과정에서 다운샘플링과 업샘플링을 반복한다. 이를 통해 신호를 점점 더 세밀한 수준에서 분석할 수 있다. 다중 해상도 분석은 신호의 잡음을 제거하거나, 신호를 효율적으로 압축하는 데 매우 유용하다.

#### 웨이블릿 변환의 수치적 구현

웨이블릿 변환의 수치적 구현은 주로 필터뱅크(Filter Bank) 구조를 사용한다. 이 구조는 신호를 저주파 및 고주파 필터를 통해 나누고, 그 결과를 다운샘플링하여 계수를 계산하는 방식으로 이루어진다. 이러한 필터뱅크 구조는 빠른 웨이블릿 변환(Fast Wavelet Transform, FWT) 알고리즘의 기초가 되며, DWT의 효율적인 계산을 가능하게 한다.

일반적으로 웨이블릿 변환의 수치적 구현에서는 주기적 경계 조건(periodic boundary condition) 또는 미러링 경계 조건(mirroring boundary condition)을 사용하여 신호의 끝에서 발생할 수 있는 인공적인 왜곡을 최소화한다.

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관련 자료:

* Mallat, S. (1999). A Wavelet Tour of Signal Processing. Academic Press.
* Daubechies, I. (1992). Ten Lectures on Wavelets. SIAM.
* Strang, G., & Nguyen, T. (1996). Wavelets and Filter Banks. Wellesley-Cambridge Press.
* Misiti, M., Misiti, Y., Oppenheim, G., & Poggi, J. M. (2007). Wavelet Toolbox User's Guide. The MathWorks, Inc.