# 수열과 극한 (Sequences and Limits)

#### 수열의 정의 및 기초 개념

수열(Sequence)은 자연수 $ n $에 대해 각 $ n $번째 항을 정의하는 함수로서, 주로 실수 집합에 속하는 값들을 나열하는 방식으로 나타낸다. 수열은 보통 $ {a\_n} $로 나타내며, $ n $이 증가할 때 각 항 $ a\_n $이 어떤 패턴이나 규칙을 따르는지를 연구하는 것이 핵심이다.

수열은 다음과 같은 두 가지 주요 범주로 구분된다:

* **유한 수열 (Finite Sequence):** 항의 개수가 유한한 수열. $ n $이 특정 값에서 멈추는 경우.
* **무한 수열 (Infinite Sequence):** 항의 개수가 무한한 수열. $ n $이 무한대로 증가하는 경우.

#### 수열의 수렴과 발산

수열의 극한(Limit of a Sequence)은 $ n $이 무한대로 갈 때 수열 $ {a\_n} $이 접근하는 값을 의미한다. 수열이 특정 값 $ L $에 수렴(Converge)하면, 다음과 같은 관계식이 성립한다:

$$
\lim\_{{n \to \infty}} a\_n = L
$$

이때, $ \forall \epsilon > 0 $에 대해 $ n $이 충분히 클 때 $ |a\_n - L| < \epsilon $이 성립해야 한다. 수열이 특정 값에 수렴하지 않고 무한히 커지거나 작아지는 경우, 이를 발산(Divergence)한다고 한다.

#### 수열의 주요 유형

**등차수열 (Arithmetic Sequence):**\
항 간의 차이가 일정한 수열. $ a\_{n+1} = a\_n + d $로 표현되며, 여기서 $ d $는 공차(Common Difference)이다. 극한이 존재하지 않거나, 특정 조건 하에 극한이 존재한다.

**등비수열 (Geometric Sequence):**\
각 항이 이전 항에 일정한 비율 $ r $을 곱한 값으로 정의되는 수열. $ a\_{n+1} = a\_n \cdot r $로 표현되며, $ |r| < 1 $일 때 수렴한다.

#### 극한의 연산법칙

수열의 극한에 대한 여러 연산 법칙들이 존재한다. 중요한 법칙으로는 다음이 있다:

* **덧셈 법칙 (Sum Rule):**

$$
\lim\_{{n \to \infty}} (a\_n + b\_n) = \lim\_{{n \to \infty}} a\_n + \lim\_{{n \to \infty}} b\_n
$$

* **곱셈 법칙 (Product Rule):**

$$
\lim\_{{n \to \infty}} (a\_n \cdot b\_n) = \lim\_{{n \to \infty}} a\_n \cdot \lim\_{{n \to \infty}} b\_n
$$

* **나눗셈 법칙 (Quotient Rule):**

$$
\lim\_{{n \to \infty}} \frac{a\_n}{b\_n} = \frac{\lim\_{{n \to \infty}} a\_n}{\lim\_{{n \to \infty}} b\_n}, \quad \text{단 } \lim\_{{n \to \infty}} b\_n \neq 0
$$

* **사이드(L'Hôpital's) 법칙:**\
  $ \lim\_{{n \to \infty}} a\_n = 0 $ 또는 $ \lim\_{{n \to \infty}} b\_n = 0 $과 같은 불확정형을 극한으로 계산할 때 사용된다.

#### 중요 극한 및 수열의 특수 형태

수열의 극한을 다룰 때 자주 등장하는 중요한 극한이 있다. 대표적인 예로는 다음과 같다:

* **$ e $의 정의:**

$$
\lim\_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e
$$

자연로그의 밑으로 정의되는 이 수열의 극한은 여러 분야에서 중요한 역할을 한다.

* **$ \sin(x) $와 $ \cos(x) $의 극한:**\
  삼각함수 수열에서 자주 등장하는 극한들로, 다음과 같은 형태를 띈다.

$$
\lim\_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x} = 1
$$

$$
\lim\_{{x \to 0}} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}
$$

#### 상한과 하한

수열 $ {a\_n} $의 상한(Supremum)과 하한(Infimum)은 수열의 모든 항이 항상 작거나 같고, 항상 크거나 같은 값으로 정의된다. 상한과 하한은 각각 $ \sup(a\_n) $과 $ \inf(a\_n) $로 표현된다.

* **최대 상한 (Least Upper Bound):**\
  수열의 상한 중에서 가장 작은 값.
* **최소 하한 (Greatest Lower Bound):**\
  수열의 하한 중에서 가장 큰 값.

#### 몬톤 수열과 바운딩 수열

수열 $ {a\_n} $이 항상 증가하거나 감소하는 경우, 이를 단조수열(Monotone Sequence)이라고 한다.

* **단조 증가 수열 (Monotonically Increasing Sequence):**

$$
a\_n \leq a\_{n+1}
$$

* **단조 감소 수열 (Monotonically Decreasing Sequence):**

$$
a\_n \geq a\_{n+1}
$$

단조 수열이 상한을 가지면 수렴하며, 상한이 없으면 발산한다.\
한편, 바운딩(Bounding)은 수열이 상한과 하한을 가지며, 그 범위 내에서 값을 유지하는 성질을 의미한다.

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관련 자료:

* Rudin, W. (1976). *Principles of Mathematical Analysis* (3rd ed.). McGraw-Hill.
* Apostol, T. M. (1974). *Mathematical Analysis* (2nd ed.). Addison-Wesley.
* Courant, R., & John, F. (1999). *Introduction to Calculus and Analysis* (Vol. 1). Springer.