# 이항 분포 (Binomial Distribution)

#### 이항 분포의 정의

이항 분포(Binomial Distribution)는 확률 이론에서 매우 중요한 분포 중 하나로, 특정 실험이 일정한 확률로 성공 또는 실패하는 이산적(discrete) 확률 분포를 나타낸다. 이항 분포는 \*\*베르누이 시행(Bernoulli trial)\*\*이라고 불리는 독립적인 반복 시행을 기반으로 하며, 각각의 시행은 오직 두 가지 결과만 가질 수 있다: 성공 또는 실패. 이항 분포는 이러한 성공의 횟수를 확률적으로 모델링하는데 사용된다.

이항 분포의 확률 질량 함수(PMF, Probability Mass Function)는 다음과 같이 정의된다:

$$
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
$$

여기서:

* $ X $: 성공의 횟수
* $ n $: 총 시행 횟수
* $ k $: 성공 횟수
* $ p $: 성공 확률
* $ 1-p $: 실패 확률
* $ \binom{n}{k} $: 이항 계수(Binomial coefficient), 이는 $ n $개의 시행 중 $ k $번 성공할 확률을 나타낸다.

#### 이항 분포의 성질

이항 분포는 다음과 같은 주요 성질을 가진다:

* **기대값(평균, Mean)**: 이항 분포의 기대값은 $ \mu = np $로 주어진다. 이는 전체 시행에서 성공할 것으로 기대되는 평균적인 횟수를 나타낸다.
* **분산(Variance)**: 이항 분포의 분산은 $ \sigma^2 = np(1-p) $로 주어진다. 이는 성공 횟수의 변동성을 측정하는 지표로 사용된다.
* **표준 편차(Standard Deviation)**: 이항 분포의 표준 편차는 $ \sigma = \sqrt{np(1-p)} $로, 분산의 제곱근이다.
* **왜도(Skewness)**: 이항 분포의 왜도는 $ \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}} $로, 이는 분포의 비대칭성을 나타낸다. $ p = 0.5 $인 경우 이항 분포는 대칭적이 된다.
* **첨도(Kurtosis)**: 이항 분포의 첨도는 $ \frac{1 - 6p(1-p)}{np(1-p)} $로 정의되며, 이는 분포의 중심 피크와 꼬리의 두께를 나타낸다.

#### 이항 분포의 파생 특성

이항 분포는 여러 특성 및 경우에 따라 다음과 같은 파생 특성을 가진다:

* **정규 분포로의 근사(Normal Approximation)**: 시행 횟수 $ n $이 매우 크고 성공 확률 $ p $가 0.5에 가까울 경우, 이항 분포는 중심극한정리에 의해 정규 분포로 근사될 수 있다. 이때, 정규 분포의 평균은 $ \mu = np $, 표준 편차는 $ \sigma = \sqrt{np(1-p)} $가 된다.
* **포아송 분포로의 근사(Poisson Approximation)**: 성공 확률 $ p $가 매우 작고 $ n $이 매우 큰 경우, 이항 분포는 포아송 분포로 근사될 수 있다. 이때, 포아송 분포의 파라미터 $ \lambda $는 $ np $로 설정된다.

#### 이항 계수와 확률 계산

이항 분포에서 확률을 계산하기 위해 이항 계수 $ \binom{n}{k} $를 사용하는데, 이는 다음과 같이 계산된다:

$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

이 이항 계수는 $ n $개의 시행에서 정확히 $ k $번 성공할 수 있는 경우의 수를 나타낸다. 이항 분포의 확률 질량 함수는 이 이항 계수와 각각의 성공 확률 및 실패 확률의 곱으로 구성된다.

#### 누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function, CDF)

이항 분포의 누적 분포 함수는 특정 성공 횟수 $ k $까지의 누적 확률을 나타낸다. 이는 다음과 같이 정의된다:

$$
F(k; n, p) = P(X \leq k) = \sum\_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}
$$

이 함수를 이용하면 특정 횟수 이하의 성공이 발생할 확률을 계산할 수 있다.

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관련 자료:

* Feller, W. (1957). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. Wiley.
* Ross, S. M. (2014). Introduction to Probability Models. Academic Press.
* Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference. Duxbury Press.