# 반대칭 행렬 (Skew-Symmetric Matrix)

#### 정의 및 기본 성질

반대칭 행렬(skew-symmetric matrix) 또는 반대칭 행렬은 정방 행렬(square matrix) $ A $가 $ A^T = -A $를 만족하는 행렬을 의미한다. 여기서 $ A^T $는 행렬 $ A $의 전치 행렬(transpose matrix)을 나타내며, $ -A $는 행렬 $ A $의 모든 원소에 -1을 곱한 행렬을 의미한다. 반대칭 행렬의 주 대각선 요소(diagonal elements)는 항상 0이 된다. 이는 $ A\_{ii} = -A\_{ii} $를 만족하는 유일한 실수 $ A\_{ii} $는 0이기 때문이다.

반대칭 행렬의 가장 기본적인 성질 중 하나는, 행렬 $ A $의 모든 비대각선 요소(off-diagonal elements) $ A\_{ij} $는 $ A\_{ij} = -A\_{ji} $를 만족한다는 점이다. 이로 인해 행렬 $ A $의 상삼각 행렬(upper triangular matrix) 부분만 알면, 하삼각 행렬(lower triangular matrix) 부분은 자동으로 결정된다.

#### 행렬의 고유값 및 고유벡터

반대칭 행렬 $ A $의 고유값(eigenvalue)은 항상 순허수(purely imaginary) 또는 0이다. 즉, 만약 $ \lambda $가 $ A $의 고유값이라면, $ \lambda $는 0이거나 $ \lambda = i\mu $의 형태로 나타낼 수 있으며, 여기서 $ i $는 허수 단위(imaginary unit), $ \mu $는 실수이다.

이러한 성질은 반대칭 행렬 $ A $의 고유벡터(eigenvector)가 항상 복소수(complex number) 성분을 가진다는 사실을 시사한다. 그러나, $ A $가 실수 행렬(real matrix)인 경우에도 고유벡터는 실수 성분만 가질 수 있다. 이는 고유값이 0일 때 발생한다.

#### 반대칭 행렬의 행렬식과 트레이스

반대칭 행렬의 행렬식(determinant)은 $ n $이 홀수일 경우 항상 0이다. 이는 반대칭 행렬의 고유값이 짝수 개의 비영 고유값(non-zero eigenvalues)을 가지기 때문이다. 만약 $ n $이 짝수라면, 행렬식은 반대칭 행렬의 고유값의 곱에 의해 결정된다.

트레이스(trace)는 반대칭 행렬의 대각선 성분(diagonal elements)의 합이기 때문에 항상 0이다. 이는 앞서 설명한 바와 같이, 반대칭 행렬의 주 대각선 요소는 모두 0이기 때문이다.

#### 반대칭 행렬의 특이값 분해

반대칭 행렬의 특이값 분해(singular value decomposition, SVD)는 일반적으로 정방행렬에 대해 적용될 수 있지만, 반대칭 행렬의 경우 특이값(singular value)은 모든 행렬의 크기가 짝수일 때, 짝수 개의 비영 특이값을 가지는 경향이 있다. 이로 인해 반대칭 행렬은 행렬의 차원이 높아질수록 비영 특이값의 쌍을 형성한다.

#### 반대칭 행렬의 행렬 연산

두 반대칭 행렬 $ A $와 $ B $의 합 $ A + B $ 역시 반대칭 행렬이다. 또한, 실수 상수 $ c $에 대한 반대칭 행렬 $ A $의 스칼라 곱 $ cA $도 반대칭 행렬이다. 하지만 반대칭 행렬의 곱셈은 반대칭성을 보존하지 않으며, 두 반대칭 행렬의 곱 $ AB $는 일반적으로 반대칭 행렬이 아니다.

이와 관련된 중요한 특성은 반대칭 행렬의 역행렬(inverse matrix)이 존재할 경우, 그 역행렬은 반대칭 행렬이 아니라는 점이다. 또한, 반대칭 행렬의 거듭제곱(power)은 홀수 거듭제곱일 때 반대칭 행렬을 유지할 수 있으나, 짝수 거듭제곱에서는 일반적으로 그렇지 않다.

#### 반대칭 행렬의 고유 분해

반대칭 행렬은 고유값 분해(eigenvalue decomposition)를 통해 고유벡터로 구성된 행렬 $ Q $와 고유값을 대각선에 가지는 대각행렬 $ \Lambda $로 분해할 수 있다. 여기서 $ Q $는 직교 행렬(orthogonal matrix)이며, $ A = Q \Lambda Q^T $로 표현된다.

반대칭 행렬의 고유값 분해는 대각화(diagonalization)를 통해 $ A = Q\Lambda Q^T $로 표현될 수 있으며, 이 때 $ \Lambda $는 대각선에 순허수 고유값을 가지는 대각행렬이다. 이는 반대칭 행렬이 항상 유니타리 행렬(unitary matrix)로 대각화될 수 있음을 의미한다.

***

관련 자료:

1. Horn, Roger A., and Charles R. Johnson. *Matrix Analysis*. Cambridge University Press, 2012.
2. Golub, Gene H., and Charles F. Van Loan. *Matrix Computations*. Johns Hopkins University Press, 2013.
3. Lancaster, Peter, and Miron Tismenetsky. *The Theory of Matrices*. Academic Press, 1985.