# 행렬: 단위행렬 (Identity Matrix)

#### 단위행렬의 정의와 기본 성질

단위행렬(Identity Matrix)은 선형대수에서 특별한 유형의 정방행렬(square matrix)로, 행렬 연산에서 곱셈의 항등원 역할을 한다. 크기가 $ n \times n $인 단위행렬은 $ I\_n $으로 표기하며, 대각선 원소는 모두 1이고 나머지 원소는 모두 0인 행렬이다. 즉, 단위행렬은 다음과 같은 형태를 갖는다:

$$
I\_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \ 0 & 1 & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix}
$$

단위행렬의 주요 성질은 다음과 같다:

* **항등원 특성:** 어떤 행렬 $ A $가 있을 때, $ A $와 단위행렬 $ I\_n $을 곱하면 원래 행렬 $ A $가 그대로 유지된다. 즉, $ AI\_n = A $이고, $ I\_nA = A $가 성립한다.
* **대각화 행렬:** 단위행렬은 스스로 대각화된 행렬로, 대각행렬의 가장 단순한 형태이다.
* **역행렬:** 단위행렬은 자기 자신이 역행렬이다. 즉, $ I\_n^{-1} = I\_n $이다.

#### 단위행렬과 행렬 곱셈

단위행렬은 행렬 곱셈에서 중요한 역할을 한다. 특히, 단위행렬은 임의의 행렬에 곱해졌을 때 원래 행렬을 변화시키지 않는 특성을 가지고 있다. 이 성질은 행렬 곱셈에서 매우 중요한 역할을 한다.

**좌단위행렬과 우단위행렬:**\
행렬 $ A $에 대해 $ AI\_n = A $와 $ I\_mA = A $가 성립한다. 여기서 $ I\_n $은 $ A $의 열 수에 맞는 $ n \times n $ 단위행렬이고, $ I\_m $은 $ A $의 행 수에 맞는 $ m \times m $ 단위행렬이다. 이때 $ AI\_n $은 $ A $의 열을 보존하고, $ I\_mA $는 $ A $의 행을 보존한다.

**블록 행렬에서의 단위행렬:**\
단위행렬은 블록 행렬(Block Matrix)에서 블록의 일부분으로 사용될 수 있다. 예를 들어, 블록 대각 행렬에서는 대각선을 따라 단위행렬이 배치될 수 있으며, 이는 큰 행렬 시스템에서 개별 블록의 독립성을 유지하는 데 도움을 준다.

#### 단위행렬과 역행렬

단위행렬은 역행렬과 밀접한 관련이 있다. 특정 행렬 $ A $가 역행렬을 가질 수 있는지 여부는 단위행렬을 통해 결정될 수 있다.

**역행렬의 정의:**\
행렬 $ A $가 $ n \times n $ 정방행렬이고, $ A $의 역행렬 $ A^{-1} $가 존재한다면, $ AA^{-1} = A^{-1}A = I\_n $이 성립한다. 즉, $ A $에 대한 역행렬을 곱했을 때 단위행렬이 나오는 경우, 해당 행렬은 가역 행렬이다.

**역행렬과 단위행렬의 관계:**\
행렬 $ A $의 가역성 여부를 확인하는 가장 간단한 방법 중 하나는 $ A $와 $ A^{-1} $을 곱하여 단위행렬이 나오는지 확인하는 것이다. 단위행렬이 도출되면, $ A $는 가역 행렬임이 보장된다.

#### 선형 변환에서의 단위행렬

선형대수에서 단위행렬은 선형 변환의 정체성(Identity)을 나타낸다. 선형 변환은 행렬을 이용해 표현되며, 단위행렬은 벡터 공간에서의 항등 변환을 의미한다.

**항등 변환:**\
벡터 공간 $ V $에서 항등 변환 $ I: V \rightarrow V $는 모든 벡터를 그 자신으로 매핑하는 변환이다. 이 변환은 행렬로 표현될 때 단위행렬이 된다. 즉, 벡터 $ v $에 대해 $ I(v) = v $이고, 이 변환을 행렬로 표현하면 $ I\_n $이 된다.

**변환의 구성:**\
두 선형 변환 $ T $와 $ S $가 있을 때, $ T $와 단위행렬에 해당하는 변환을 합성하면 원래의 변환이 그대로 유지된다. 즉, $ T \circ I = T $이며, 이는 행렬 곱셈 $ TI\_n = T $으로 표현된다.

**기저의 불변성:**\
단위행렬은 특정 기저에서 변환이 이루어지지 않음을 나타낸다. 즉, 단위행렬을 사용하는 선형 변환은 기저 벡터의 방향과 크기를 변경하지 않는다.

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관련 자료:

* Linear Algebra Done Right by Sheldon Axler
* Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang
* Matrix Computations by Gene H. Golub and Charles F. Van Loan