# 벡터: 벡터의 외적 (Vector Cross Product)

#### 벡터의 외적 정의

벡터의 외적은 3차원 유클리드 공간에서 정의되는 이항 연산으로, 두 벡터의 외적은 새로운 벡터를 생성한다. 외적은 주로 물리학과 공학에서 두 벡터가 이루는 평면에 수직인 벡터를 구할 때 사용된다. 벡터 $ \mathbf{a} $와 $ \mathbf{b} $의 외적은 $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $로 표기하며, 그 결과는 세 번째 벡터 $ \mathbf{c} $로 나타난다.

수학적으로, 벡터 $ \mathbf{a} = \[a\_1, a\_2, a\_3] $와 $ \mathbf{b} = \[b\_1, b\_2, b\_3] $의 외적은 다음과 같이 정의된다:

$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a\_1 & a\_2 & a\_3 \ b\_1 & b\_2 & b\_3 \end{vmatrix}
$$

여기서 $ \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} $는 표준 단위 벡터를 의미하며, 위 식은 행렬식의 형식으로 계산된다. 결과 벡터 $ \mathbf{c} = \[c\_1, c\_2, c\_3] $는 다음과 같이 계산된다:

$$
c\_1 = a\_2b\_3 - a\_3b\_2, \quad c\_2 = a\_3b\_1 - a\_1b\_3, \quad c\_3 = a\_1b\_2 - a\_2b\_1
$$

#### 외적의 성질

벡터의 외적은 다음과 같은 중요한 수학적 성질을 가진다:

1. **반대칭성 (Antisymmetry)**: 두 벡터 $ \mathbf{a} $와 $ \mathbf{b} $의 외적은 교환 법칙을 따르지 않으며, 다음과 같은 관계가 성립한다:

$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})
$$

이는 벡터 $ \mathbf{a} $와 $ \mathbf{b} $의 순서를 바꾸면 결과 벡터의 방향이 반대가 된다는 것을 의미한다.

2. **벡터의 길이**: 벡터 $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $의 길이(크기)는 다음과 같이 주어진다:

$$
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \sin\theta
$$

여기서 $ \theta $는 벡터 $ \mathbf{a} $와 $ \mathbf{b} $ 사이의 각도이다. 이 식은 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이를 의미한다.

3. **직교성 (Orthogonality)**: 벡터 $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $는 벡터 $ \mathbf{a} $와 $ \mathbf{b} $ 모두에 직교한다. 즉,

$$
\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = 0 \quad \text{및} \quad \mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = 0
$$

이는 외적 벡터가 두 입력 벡터가 이루는 평면에 수직임을 나타낸다.

4. **분배 법칙 (Distributivity)**: 벡터 외적은 벡터 덧셈에 대해 분배 법칙을 만족한다:

$$
\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}
$$

이 성질은 외적이 선형 연산임을 보여준다.

#### 외적의 기하학적 해석

벡터 외적은 기하학적으로 해석할 수 있다. 벡터 $ \mathbf{a} $와 $ \mathbf{b} $가 이루는 평면에서 외적 $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $는 다음과 같은 의미를 가진다:

1. **평행사변형의 넓이**: 벡터 $ \mathbf{a} $와 $ \mathbf{b} $가 이루는 평행사변형의 넓이는 $ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| $로 주어지며, 이는 두 벡터가 만드는 평면의 기하학적 속성을 나타낸다.
2. **벡터 방향**: 외적 벡터 $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $는 오른손 법칙에 따라 결정된다. 오른손의 엄지손가락이 벡터 $ \mathbf{a} $의 방향을 가리키고, 나머지 손가락들이 벡터 $ \mathbf{b} $의 방향으로 향할 때, 손바닥이 향하는 방향이 외적 벡터의 방향이다. 이로 인해 외적 벡터는 원래의 두 벡터가 이루는 평면에 수직하게 위치하게 된다.

#### 외적의 계산 예시

벡터 외적의 실제 계산을 통해 이 개념을 구체화할 수 있다. 예를 들어, 두 벡터 $ \mathbf{a} = \[1, 2, 3] $와 $ \mathbf{b} = \[4, 5, 6] $의 외적을 구하면:

$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}
$$

계산을 통해:

$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \[(2)(6) - (3)(5)]\mathbf{i} - \[(1)(6) - (3)(4)]\mathbf{j} + \[(1)(5) - (2)(4)]\mathbf{k}
$$

이를 정리하면:

$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \[-3, 6, -3]
$$

이 결과는 벡터 $ \mathbf{a} $와 $ \mathbf{b} $가 이루는 평면에 수직한 벡터로서, 크기와 방향 모두를 포함한다.

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관련 자료:

* Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang
* Vector Analysis by Josiah Willard Gibbs
* Introduction to Linear Algebra by Serge Lang