# 벡터: 맨해튼 노름 (Vector: Manhattan Norm)

#### 맨해튼 노름의 정의

맨해튼 노름(Manhattan Norm)은 벡터 공간에서 벡터의 크기를 측정하는 방법 중 하나로, 벡터의 모든 성분의 절대값 합으로 정의된다. 이는 L1 노름(L1 norm)으로도 알려져 있으며, 특정 상황에서 유클리드 노름(L2 norm)보다 더 적합한 특성을 제공한다.

**정의:** 주어진 n차원 벡터 $ \mathbf{v} = (v\_1, v\_2, \dots, v\_n) $에 대해, 맨해튼 노름 $ |\mathbf{v}|\_1 $은 다음과 같이 정의된다.

$$
|\mathbf{v}|\_1 = |v\_1| + |v\_2| + \dots + |v\_n|
$$

여기서 $ |v\_i| $는 벡터 $ \mathbf{v} $의 각 성분 $ v\_i $의 절대값을 나타낸다.

#### 맨해튼 노름의 특성

맨해튼 노름은 여러 특성을 가지며, 이는 벡터 공간에서의 벡터 간 거리 측정 및 벡터의 크기를 평가하는 데 중요한 역할을 한다.

**비음수성 (Non-negativity):** 모든 벡터 $ \mathbf{v} $에 대해 $ |\mathbf{v}|\_1 \geq 0 $이다. 또한, $ |\mathbf{v}|\_1 = 0 $이 되는 경우는 $ \mathbf{v} = \mathbf{0} $일 때뿐이다. 이는 벡터의 노름이 항상 음이 아닌 값을 가지며, 0이 되는 경우 벡터가 영벡터임을 의미한다.

**삼각 부등식 (Triangle Inequality):** 두 벡터 $ \mathbf{u} $와 $ \mathbf{v} $에 대해, 맨해튼 노름은 다음과 같은 삼각 부등식을 만족한다.

$$
|\mathbf{u} + \mathbf{v}|\_1 \leq |\mathbf{u}|\_1 + |\mathbf{v}|\_1
$$

이 부등식은 두 벡터의 합의 노름이 각 벡터의 노름의 합보다 크지 않다는 것을 의미한다. 이는 벡터 공간에서 노름의 기본적인 성질 중 하나로, 거리 개념의 일관성을 유지하는 데 필수적이다.

**균일 연속성 (Homogeneity):** 모든 실수 $ \alpha $와 벡터 $ \mathbf{v} $에 대해, 맨해튼 노름은 다음과 같은 균일 연속성을 가진다.

$$
|\alpha \mathbf{v}|\_1 = |\alpha| \cdot |\mathbf{v}|\_1
$$

이는 벡터를 스칼라 값으로 확대하거나 축소할 때, 그 크기(노름)가 동일한 비율로 변화함을 나타낸다.

#### 맨해튼 노름과 다른 노름의 비교

맨해튼 노름은 L1 노름으로, 유클리드 노름(L2 노름)이나 최대 노름(L∞ 노름)과 비교할 때 몇 가지 중요한 차이점이 있다.

**유클리드 노름과의 비교:** 유클리드 노름은 벡터의 성분의 제곱합의 제곱근으로 정의되며, 이는 다음과 같다.

$$
|\mathbf{v}|\_2 = \sqrt{v\_1^2 + v\_2^2 + \dots + v\_n^2}
$$

맨해튼 노름은 성분의 절대값 합으로 계산되므로, 유클리드 노름에 비해 직관적으로 더 간단한 계산을 요구한다. 또한, 맨해튼 노름은 데이터의 개별 성분 간의 상호작용을 덜 강조하며, 이는 특정 유형의 문제에서 중요한 역할을 한다.

**최대 노름과의 비교:** 최대 노름은 벡터의 성분 중 절대값이 가장 큰 성분의 값을 노름으로 정의하며, 다음과 같다.

$$
|\mathbf{v}|\_\infty = \max(|v\_1|, |v\_2|, \dots, |v\_n|)
$$

맨해튼 노름은 모든 성분의 합을 사용하여 벡터의 크기를 측정하는 반면, 최대 노름은 단 하나의 성분만을 사용한다. 이로 인해, 맨해튼 노름은 전체 벡터의 분포를 반영하는 반면, 최대 노름은 가장 지배적인 성분에 집중한다.

#### 맨해튼 노름의 계산 예제

맨해튼 노름의 계산은 간단한 절차를 따르며, 주어진 벡터의 각 성분의 절대값을 더하는 것으로 이루어진다.

예를 들어, 벡터 $ \mathbf{v} = (3, -4, 1) $에 대해 맨해튼 노름을 계산하면:

$$
|\mathbf{v}|\_1 = |3| + |-4| + |1| = 3 + 4 + 1 = 8
$$

이처럼 맨해튼 노름은 계산이 간단하며, 벡터의 각 성분의 기여를 모두 합산하여 크기를 평가한다.

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관련 자료:

* Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang
* Matrix Analysis by Roger A. Horn and Charles R. Johnson
* Introduction to Linear Algebra by Serge Lang