# 벡터: 크기 (Magnitude of a Vector)

#### 벡터의 정의와 크기의 개념

벡터는 크기와 방향을 가지는 수학적 객체로, 물리적 세계에서 힘, 속도, 전기장 등의 여러 물리량을 표현하는 데 사용된다. 벡터의 크기, 즉 벡터의 길이는 벡터의 중요한 특성 중 하나이며, 이는 물리적 의미에서 벡터가 얼마나 큰지, 또는 강한지를 나타낸다. 벡터의 크기는 스칼라로 표현되며, 보통 양수이다.

**벡터의 크기**는 벡터 공간에서 정의된 거리 개념과 연관된다. 이를 통해 벡터 간의 상대적인 크기를 비교하거나 벡터의 방향성을 무시하고 단순히 크기만을 고려할 수 있다. 벡터의 크기를 이해하는 것은 벡터의 기본적인 성질을 파악하는 데 필수적이다.

#### 유클리드 공간에서의 벡터 크기

유클리드 공간에서 벡터의 크기는 주로 피타고라스 정리를 통해 정의된다. 이는 가장 직관적이고 널리 사용되는 방법으로, 특히 2차원과 3차원 공간에서 자주 사용된다.

**2차원 벡터의 크기**는 두 축에서의 성분을 이용해 계산된다. 예를 들어, 벡터 $ \mathbf{v} = (v\_1, v\_2) $의 크기는 다음과 같이 정의된다:

$$
|\mathbf{v}| = \sqrt{v\_1^2 + v\_2^2}
$$

여기서 $ |\mathbf{v}| $는 벡터 $ \mathbf{v} $의 크기(magnitude)를 나타내며, 이는 원점에서 해당 벡터가 가리키는 점까지의 거리를 의미한다.

**3차원 벡터의 크기**도 유사하게 계산되며, 벡터 $ \mathbf{v} = (v\_1, v\_2, v\_3) $의 크기는 다음과 같이 정의된다:

$$
|\mathbf{v}| = \sqrt{v\_1^2 + v\_2^2 + v\_3^2}
$$

이 역시 벡터의 시작점에서 끝점까지의 유클리드 거리를 나타내며, 물리적으로는 공간에서의 직선 거리를 의미한다.

**n차원 벡터의 크기**는 일반화된 형태로, 벡터 $ \mathbf{v} = (v\_1, v\_2, \dots, v\_n) $의 크기는 다음과 같이 정의된다:

$$
|\mathbf{v}| = \sqrt{v\_1^2 + v\_2^2 + \dots + v\_n^2}
$$

이 공식은 모든 차원에서 벡터의 크기를 계산하는 데 적용 가능하며, n차원 공간에서의 거리 개념을 포괄적으로 설명한다.

#### 노름(Norm)과 벡터의 크기

벡터의 크기를 더 일반화하면, 이는 벡터 공간에서의 노름(norm)이라는 개념으로 확장된다. 노름은 벡터의 크기를 정의하는 다양한 방식들을 포함하며, 다양한 상황에서 벡터를 평가할 수 있는 도구를 제공한다.

\*\*유클리드 노름(Euclidean Norm)\*\*은 앞서 설명한 것처럼 가장 일반적인 노름의 형태로, $ L^2 $ 노름이라고도 불린다. 이는 유클리드 공간에서의 벡터 크기를 계산하는 방법과 동일하다.

**맨해튼 노름(Manhattan Norm)**, 또는 $ L^1 $ 노름은 벡터의 각 성분의 절댓값을 합하여 크기를 계산하는 방식이다. 벡터 $ \mathbf{v} = (v\_1, v\_2, \dots, v\_n) $의 맨해튼 노름은 다음과 같이 정의된다:

$$
|\mathbf{v}|\_1 = |v\_1| + |v\_2| + \dots + |v\_n|
$$

이 노름은 물리적으로는 점 사이의 이동 경로가 축을 따라 직각으로만 이동할 때의 거리를 의미한다.

**최대 노름(Maximum Norm)**, 또는 $ L^\infty $ 노름은 벡터의 성분 중 절댓값이 가장 큰 성분을 크기로 정의한다. 벡터 $ \mathbf{v} = (v\_1, v\_2, \dots, v\_n) $의 최대 노름은 다음과 같이 정의된다:

$$
|\mathbf{v}|\_\infty = \max(|v\_1|, |v\_2|, \dots, |v\_n|)
$$

이 노름은 벡터의 크기를 측정할 때 가장 지배적인 성분의 영향을 고려하는 방식으로, 특정 상황에서 유용하다.

**일반화된 $ L^p $ 노름**은 위의 노름들을 포함하는 일반적인 형태로, 다음과 같이 정의된다:

$$
|\mathbf{v}|*p = \left( \sum*{i=1}^{n} |v\_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}
$$

여기서 p가 2일 때는 유클리드 노름, p가 1일 때는 맨해튼 노름, p가 무한대에 가까워질 때는 최대 노름이 된다. 이는 다양한 공간에서 벡터의 크기를 평가할 수 있는 일반적인 도구를 제공한다.

#### 벡터 크기의 성질

벡터의 크기는 여러 중요한 성질을 가지며, 이는 선형대수에서 매우 유용하다. 이러한 성질을 이해하는 것은 벡터 간의 관계를 분석하고 벡터 공간 내에서의 연산을 수행하는 데 필수적이다.

**비음성성(Non-negativity)**: 모든 벡터 $ \mathbf{v} $에 대해, 벡터의 크기는 항상 0 이상이다. 즉, $ |\mathbf{v}| \geq 0 $이며, $ |\mathbf{v}| = 0 $일 때 $ \mathbf{v} $는 영벡터(모든 성분이 0인 벡터)이다.

**동차성(Homogeneity)**: 모든 스칼라 $ c $와 벡터 $ \mathbf{v} $에 대해, 스칼라 곱을 취한 벡터의 크기는 원래 벡터의 크기에 스칼라의 절댓값을 곱한 것과 같다. 즉, $ |c\mathbf{v}| = |c||\mathbf{v}| $이다.

**삼각 부등식(Triangle Inequality)**: 두 벡터 $ \mathbf{u} $와 $ \mathbf{v} $에 대해, 벡터의 크기는 그 합의 크기보다 작거나 같다. 즉, $ |\mathbf{u} + \mathbf{v}| \leq |\mathbf{u}| + |\mathbf{v}| $이다. 이 성질은 벡터 공간에서 벡터 간의 거리와 관련이 깊다.

***

관련 자료:

* Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang
* Introduction to Linear Algebra by Serge Lang
* Matrix Analysis by Roger A. Horn and Charles R. Johnson