# 페라리의 4차 방정식 해법 (Ferrari's Solution to the Quartic Equation)

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#### 4차 방정식의 정의와 기본 구조

4차 방정식은 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현된다:

$$
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0
$$

여기서 $ a, b, c, d, e $는 실수 또는 복소수 계수이고, $ a \neq 0 $이다. 페라리의 해법은 이러한 4차 방정식의 해를 구하는 과정으로, 이 과정은 16세기 이탈리아 수학자인 루도비코 페라리(Lodovico Ferrari)가 개발한 것이다.

#### 4차 방정식의 축소 (Depressed Quartic)

페라리의 해법을 적용하기 위해, 먼저 4차 방정식을 축소된 형태로 변환한다. 이를 위해 $ x = y - \frac{b}{4a} $라는 치환을 사용하여, $ x^3 $ 항을 제거한다. 이 치환을 통해 4차 방정식은 다음과 같은 형태로 바뀐다:

$$
y^4 + py^2 + qy + r = 0
$$

여기서 새로운 계수 $ p $, $ q $, $ r $는 원래 계수 $ a, b, c, d, e $에 의해 결정된다.

#### 페라리의 보조 방정식 도입

페라리는 이 축소된 4차 방정식을 풀기 위해 특별한 2차 방정식을 도입하였다. 이 보조 방정식은 다음과 같다:

$$
z^2 + pz + \frac{p^2 - 4r}{4} = 0
$$

여기서 $ z $는 새로운 변수로, 4차 방정식을 두 개의 2차 방정식으로 분해할 수 있도록 돕는다. 이 방정식을 풀면 두 개의 해 $ z\_1 $과 $ z\_2 $를 얻을 수 있다.

#### 4차 방정식의 해로의 변환

보조 방정식의 해 $ z\_1 $과 $ z\_2 $를 이용하여 4차 방정식을 다음과 같은 두 개의 2차 방정식으로 분해할 수 있다:

$$
(y^2 + z\_1)(y^2 + z\_2) = 0
$$

이를 풀면 각 2차 방정식으로부터 $ y $의 해를 구할 수 있고, 앞서 언급한 치환 $ x = y - \frac{b}{4a} $를 다시 적용하여 원래 4차 방정식의 해를 얻는다.

#### 보조 방정식의 해법

보조 방정식은 일반적인 2차 방정식으로, 다음과 같이 근의 공식을 이용하여 해를 구할 수 있다:

$$
z = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4\cdot\frac{p^2 - 4r}{4}}}{2}
$$

이를 통해 $ z\_1 $과 $ z\_2 $를 구한 후, 앞에서 설명한 방식으로 4차 방정식의 해를 구할 수 있다.

#### 해법의 검증과 추가 고려 사항

페라리의 해법이 유효하려면 보조 방정식의 해가 실수여야 하고, 4차 방정식이 두 개의 2차 방정식으로 완벽하게 분해되어야 한다. 이 과정에서 분해된 2차 방정식의 판별식이 양수인지 확인하는 것도 중요한 단계이다.

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관련 자료:

* Ludovico Ferrari, Solutio Resolutiva Algebraica Aequationum, Opera Omnia, 1572.
* Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, 1991.
* Paolo Ruffini, Teoria Generale delle Equazioni, Modena, 1799.