# 비에트의 4차 방정식 해법 (Vieta's Solution to the Quartic Equation)

#### 4차 방정식의 일반형과 기본 성질

4차 방정식은 가장 일반적인 형태로 다음과 같이 표현된다.

$$
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0
$$

여기서 $ a, b, c, d, e $는 실수 또는 복소수 계수이고, $ x $는 방정식의 미지수이다. 4차 방정식은 복소수 체에서 최대 4개의 근을 가지며, 중복 근을 고려할 경우에도 총 4개의 근을 가진다.

비에트(Vieta)의 해법은 4차 방정식을 근의 조합을 이용해 직접적으로 풀 수 있는 방법을 제시한다. 이 해법은 특별히 비에트의 이름을 따서 불리며, 원래 16세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트(François Viète)가 발견한 방식이다.

#### 4차 방정식을 2차 방정식의 곱으로 분해

비에트의 해법은 4차 방정식을 두 개의 2차 방정식으로 분해하는 접근법을 취한다. 이를 위해 먼저 4차 방정식을 다음과 같이 분해된 형태로 가정한다.

$$
(ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) = 0
$$

위의 방정식을 전개하면 다음과 같은 식이 도출된다.

$$
ad x^4 + (ae + bd)x^3 + (af + be + cd)x^2 + (bf + ce)x + cf = 0
$$

따라서 4차 방정식의 계수 $ a, b, c, d, e $와 비교하여 각 계수를 다음과 같이 설정할 수 있다.

* $ a = ad $
* $ b = ae + bd $
* $ c = af + be + cd $
* $ d = bf + ce $
* $ e = cf $

#### 비에트의 방법: 보조변수 도입과 근의 관계

비에트는 이 식을 이용해 4차 방정식의 근을 구하는 방법을 제시했다. 먼저, 보조변수 $ y $와 $ z $를 도입하여 두 2차 방정식의 근이 다음과 같은 형태를 갖도록 한다.

$$
ax^2 + bx + c = a(x - y)(x - z)
$$

이때 $ y $와 $ z $는 두 근이다. 유사하게 두 번째 2차 방정식의 근을 $ w $와 $ v $라고 하자.

$$
dx^2 + ex + f = d(x - w)(x - v)
$$

이제 비에트의 방법은 이 보조변수들을 이용해 4차 방정식의 근을 구하는 문제로 귀결된다. 이를 위해 위에서 언급한 두 2차 방정식을 비교하여 각 계수를 결정하는 것이 핵심이 된다.

#### 대칭함수를 통한 근의 계산

비에트의 해법은 대칭함수(symmetric function)를 이용해 4차 방정식의 근을 구한다. 구체적으로, 4차 방정식의 근을 $ r\_1, r\_2, r\_3, r\_4 $라 하면, 다음과 같은 관계식이 성립한다.

$$
r\_1 + r\_2 + r\_3 + r\_4 = -\frac{b}{a}
$$

$$
r\_1r\_2 + r\_1r\_3 + r\_1r\_4 + r\_2r\_3 + r\_2r\_4 + r\_3r\_4 = \frac{c}{a}
$$

$$
r\_1r\_2r\_3 + r\_1r\_2r\_4 + r\_1r\_3r\_4 + r\_2r\_3r\_4 = -\frac{d}{a}
$$

$$
r\_1r\_2r\_3r\_4 = \frac{e}{a}
$$

이들 대칭함수를 이용하면, 각 근을 표현하는 보조변수들의 관계를 설정할 수 있으며, 최종적으로 4차 방정식의 근을 계산할 수 있다.

#### 구체적인 해법 절차

1. **보조변수 도입**: 보조변수 $ y, z, w, v $를 도입하고 각 근에 대한 대칭함수를 설정한다.
2. **대칭함수 계산**: 위에서 정의된 대칭함수를 이용해 보조변수 간의 관계를 도출한다.
3. **최종 근 계산**: 도출된 관계를 이용해 각 보조변수를 구하고, 이를 바탕으로 최종적으로 4차 방정식의 근을 계산한다.

비에트의 해법은 이론적으로 명확하지만, 실제로 적용하기 위해서는 수많은 계산을 요구하므로 실용적으로는 4차 방정식을 푸는 다른 방법들이 주로 사용된다.

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관련 자료:

* Dickson, L. E. *History of the Theory of Numbers*. Vol. 2. Chelsea Publishing Company, 1952.
* Stewart, I. *Galois Theory*. 3rd edition. Chapman & Hall/CRC, 2004.